笔者开发了一个“形位误差高精度电算软件包”....

xl0420 - 2008-8-30 1:39:00

形状误差高精度计算分析程序算例及结果比较

一、形状误差方面
1、圆度误差算例及结果
2、平面度误差算例及结果分析
3、直线度误差（平面）算例及结果分析
4、空间直线度误差算例及结果分析
5、圆柱度误差算例及结果分析
6、球度误差算例及结果分析
二、位置误差方面
1、平行度误差算例及结果
2、垂直误差度算例及结果

程序开发人: 林翔
TEL：0591-88932139 E-MAIL: xl0420@163.com

圆度误差算例及结果
---------林翔
文献[1]中给出了二个算例：
其一：圆周上39个点，分别是：

x[1]=1.0249;y[1]=0.0863;
x[2]=0.9991;y[2]=0.2226;
x[3]=0.5974;y[3]=0.7736;
x[4]=0.4731;y[4]=0.8485;
x[5]=0.8803;y[5]=0.4794;
x[6]=0.8017;y[6]=0.5899;
x[7]=0.9527;y[7]=0.3551;
x[8]=0.7047;y[8]=0.6884;
x[9]=0.2101;y[9]=0.9295;
x[10]=0.0708;y[10]=0.9483;
x[11]=-0.0683;y[11]=0.9382;
x[12]=-0.8432;y[12]=0.4157;
x[13]=-0.9022;y[13]=0.2890;
x[14]=-0.9394;y[14]=0.1561;
x[15]=-0.2071;y[15]=0.9218;
x[16]=-0.3381;y[16]=0.8782;
x[17]=-0.4643;y[17]=0.8132;
x[18]=-0.5771;y[18]=0.7369;
x[19]=-0.7763;y[19]=0.5367;
x[20]=-0.6838;y[20]=-0.7485;
x[21]=-0.5795;y[21]=-0.8424;
x[22]=-0.9618;y[22]=0.0170;
x[23]=-0.9454;y[23]=-0.2605;
x[24]=-0.9077;y[24]=-0.3956;
x[25]=-0.8443;y[25]=-0.5203;
x[26]=-0.7764;y[26]=-0.6394;
x[27]=-0.4635;y[27]=-0.9195;
x[28]=0.4736;y[28]=-0.9507;
x[29]=0.5942;y[29]=-0.8781;
x[30]=-0.2059;y[30]=-1.0269;
x[31]=0.9950;y[31]=-0.3272;
x[32]=1.0218;y[32]=-0.1921;
x[33]=-0.0686;y[33]=-1.0512;
x[34]=0.0710;y[34]=-1.0568;
x[35]=0.2087;y[35]=-1.0377;
x[36]=0.3445;y[36]=-1.0078;
x[37]=0.7082;y[37]=-0.7982;
x[38]=0.8873;y[38]=-0.5832;
x[39]=0.9510;y[39]=-0.4578;

文献引用多种算法获得的若干个圆度误差值，其中最小者为8.5ηm。用本人开发的程序对该算例进行计算，结果为8.537411ηm（圆心：35.614986，-52.929476）。
其二：圆周上100个点：

x[1]=0.57057;y[1]=-0.95024;
x[2]=1.56665;y[2]=0.42132;
x[3]=1.01913;y[3]=0.14749;
x[4]=0.9179;y[4]=-0.83853;
x[5]=-0.24959;y[5]=1.73905;
x[6]=-0.0585;y[6]=1.65447;
x[7]=1.95744;y[7]=0.07152;
x[8]=-0.63876;y[8]=1.12818;
x[9]=-1.59509;y[9]=0.84536;
x[10]=1.42092;y[10]=0.53183;
x[11]=-1.03427;y[11]=-0.46699;
x[12]=0.4236;y[12]=1.39442;
x[13]=-1.09673;y[13]=-1.31727;
x[14]=-1.60962;y[14]=-1.0501;
x[15]=0.00792;y[15]=-1.06191;
x[16]=1.30986;y[16]=1.02512;
x[17]=-0.92376;y[17]=1.02512;
x[18]=-1.1727;y[18]=-0.12527;
x[19]=-1.08129;y[19]=-0.28216;
x[20]=-1.47503;y[20]=-0.15113;
x[21]=0.29;y[21]=1.0206;
x[22]=0.26104;y[22]=-1.68673;
x[23]=-0.92848;y[23]=-0.39273;
x[24]=0.03578;y[24]=-1.62692;
x[25]=1.6635;y[25]=0.00824;
x[26]=0.12293;y[26]=-1.00482;
x[27]=1.48703;y[27]=1.08665;
x[28]=-0.35551;y[28]=0.96017;
x[29]=-1.21984;y[29]=0.12886;
x[30]=0.56851;y[30]=-1.72432;
x[31]=-0.1237;y[31]=1.43138;
x[32]=-0.15604;y[32]=1.01881;
x[33]=-0.96311;y[33]=-0.3251;
x[34]=-0.34527;y[34]=-1.10683;
x[35]=-0.55921;y[35]=1.33519;
x[36]=-0.63695;y[36]=1.86756;
x[37]=1.1901;y[37]=-1.32348;
x[38]=-0.96685;y[38]=-1.17529;
x[39]=-0.74928;y[39]=-1.03968;
x[40]=-1.60008;y[40]=0.65249;
x[41]=0.80483;y[41]=-1.14324;
x[42]=-1.10193;y[42]=-0.07063;
x[43]=-0.70269;y[43]=-0.77591;
x[44]=-0.75973;y[44]=-0.95673;
x[45]=1.50261;y[45]=0.03128;
x[46]=-0.59504;y[46]=-1.29475;
x[47]=-0.13981;y[47]=1.17729;
x[48]=-1.44834;y[48]=-0.42819;
x[49]=-1.44198;y[49]=-0.59224;
x[50]=1.27889;y[50]=-0.81302;
x[51]=0.93272;y[51]=1.04136;
x[52]=-1.66035;y[52]=-0.75754;
x[53]=1.43687;y[53]=0.09947;
x[54]=0.56329;y[54]=-1.05384;
x[55]=0.96458;y[55]=1.22851;
x[56]=0.46196;y[56]=0.97179;
x[57]=1.09856;y[57]=0.14624;
x[58]=0.98879;y[58]=0.82127;
x[59]=-0.5729;y[59]=-1.8727;
x[60]=-1.10514;y[60]=-0.65124;
x[61]=1.40111;y[61]=1.14802;
x[62]=1.44491;y[62]=0.47765;
x[63]=0.41698;y[63]=0.93033;
x[64]=0.88468;y[64]=-0.85463;
x[65]=-0.26884;y[65]=-1.07328;
x[66]=1.0129;y[66]=-0.39874;
x[67]=-1.33422;y[67]=0.16749;
x[68]=-0.58673;y[68]=-1.43237;
x[69]=-1.04105;y[69]=-1.32056;
x[70]=-0.78897;y[70]=-1.08234;
x[71]=-0.02463;y[71]=1.90053;
x[72]=0.7139;y[72]=0.79895;
x[73]=-0.43885;y[73]=-1.13834;
x[74]=-0.4092;y[74]=-1.60155;
x[75]=1.34935;y[75]=-0.14736;
x[76]=-0.48152;y[76]=-1.29893;
x[77]=-0.62689;y[77]=-1.25215;
x[78]=-1.26367;y[78]=-0.93106;
x[79]=-0.95839;y[79]=-0.6098;
x[80]=-0.8003;y[80]=-1.43963;
x[81]=-0.1384;y[81]=1.36136;
x[82]=1.27357;y[82]=0.44949;
x[83]=-0.61582;y[83]=0.9840;
x[84]=0.12755;y[84]=-1.44632;
x[85]=-0.77293;y[85]=0.65179;
x[86]=0.40132;y[86]=-1.23348;
x[87]=0.56658;y[87]=-1.57567;
x[88]=-0.60135;y[88]=-1.12506;
x[89]=1.4585;y[89]=-0.36716;
x[90]=-1.33368;y[90]=0.31742;
x[91]=-0.75031;y[91]=-1.03356;
x[92]=-1.40787;y[92]=0.53895;
x[93]=-1.71498;y[93]=0.36219;
x[94]=-0.33964;y[94]=-1.63037;
x[95]=-1.56297;y[95]=0.30197;
x[96]=-0.09198;y[96]=-1.03831;
x[97]=0.46082;y[97]=1.50514;
x[98]=1.63667;y[98]=-0.58851;
x[99]=1.7043;y[99]=-0.12403;
x[100]=-0.51619;y[100]=0.91414;
文献也引用多种算法获得的若干个圆度误差值，其中最小者为957.35ηm。用本人的算法对该算例进行计算，结果为957.3539495ηm（圆心：5.355403，7.880763）。

文献[2] 给出的算例，圆周上有12个样本点：

x[1]=50.050;y[1]=0;
x[2]=43.309;y[2]=25.004;
x[3]=25.000;y[3]=43.311;
x[4]=0.006;y[4]=50.000;
x[5]=-25.009;y[5]=43.318;
x[6]=-43.301;y[6]=25.006;
x[7]=-50.00;y[7]=0.001;
x[8]=-43.327;y[8]=-25.014;
x[9]=-25.001;y[9]=-43.301;
x[10]=-0.001;y[10]=-50.0;
x[11]=25.01;y[11]=-43.336;
x[12]=43.301;y[12]=-25.002;

该文作者在多篇文章中用不同的算法对该例进行计算，所得圆度误差都高于46μm；用本人的算法进行计算，得出的圆度误差为45.375824μm（圆心：9.73345，5.10839）。

文献[3] 给出的算例,20个样本点：

x[1]=49.9996;
x[2]=47.5512;
x[3]=40.4510;
x[4]=29.3894;
x[5]=15.4505;
x[6]=0.0000;
x[7]=-15.4512;
x[8]=-29.3892;
x[9]=-40.4511;
x[10]=-47.5530;
y[1]=0.0000;
y[2]=15.4503;
y[3]=29.3893;
y[4]=40.4511;
y[5]=47.5517;
y[6]=50.0012;
y[7]=47.5540;
y[8]=40.4508;
y[9]=29.3895;
y[10]=15.4509;
x[11]=-49.9998;
x[12]=-47.5535;
x[13]=-40.4504;
x[14]=-29.3905;
x[15]=-15.4508;
x[16]=-0.0000;
x[17]=15.4512;
x[18]=29.3893;
x[19]=40.4508;
x[20]=47.5520;
y[11]=0.0000;
y[12]=-15.4511;
y[13]=-29.3889;
y[14]=-40.4526;
y[15]=-47.5527;
y[16]=-50.0001;
y[17]=-47.5538;
y[18]=-40.4509;
y[19]=-29.3892;
y[20]=-15.4506;

以该文指明的“MATLAB”中方法（三坐标测量仪所用算法）计算，圆度误差为2.9μm；用本法计算，误差为2.735138μm（圆心：-0.000458744，-0.000370574）。

文献[4] 给出的4个算例,分别有24、12、12、12个样本点，详列出如下：
（例1）pai=3.1415926
x[1]=20.0224;y[1]=0.0;
x[2]=20.0194*cos(15.0*pai/180);y[2]=20.0194*sin(15.0*pai/180);
x[3]=20.0113*cos(30.0*pai/180);y[3]=20.0113*sin(30.0*pai/180);
x[4]=20.008*cos(45.0*pai/180);y[4]=20.008*sin(45.0*pai/180);
x[5]=20.0084*cos(60.0*pai/180);y[5]=20.0084*sin(60.0*pai/180);
x[6]=20.0043*cos(75.0*pai/180);y[6]=20.0043*sin(75.0*pai/180);
x[7]=20.0055*cos(90.0*pai/180);y[7]=20.0055*sin(90.0*pai/180);
x[8]=20.0099*cos(105.0*pai/180);y[8]=20.0099*sin(105.0*pai/180);
x[9]=20.0151*cos(120.0*pai/180);y[9]=20.0151*sin(120.0*pai/180);
x[10]=20.020*cos(135.0*pai/180);y[10]=20.020*sin(135.0*pai/180);
x[11]=20.0294*cos(150.0*pai/180);y[11]=20.0294*sin(150.0*pai/180);
x[12]=20.036*cos(165.0*pai/180);y[12]=20.036*sin(165.0*pai/180);
x[13]=20.0309*cos(180*pai/180);y[13]=20.0309*sin(180*pai/180);
x[14]=20.0159*cos(195.0*pai/180);y[14]=20.0159*sin(195.0*pai/180);
x[15]=20.0070*cos(210.0*pai/180);y[15]=20.0070*sin(210.0*pai/180);
x[16]=20.0123*cos(225.0*pai/180);y[16]=20.0123*sin(225.0*pai/180);
x[17]=20.0049*cos(240.0*pai/180);y[17]=20.0049*sin(240.0*pai/180);
x[18]=20.00*cos(255.0*pai/180);y[18]=20.00*sin(255.0*pai/180);
x[19]=20.0038*cos(270.0*pai/180);y[19]=20.0038*sin(270.0*pai/180);
x[20]=20.0104*cos(285.0*pai/180);y[20]=20.0104*sin(285.0*pai/180);
x[21]=20.0202*cos(300.0*pai/180);y[21]=20.0202*sin(300.0*pai/180);
x[22]=20.0283*cos(315.0*pai/180);y[22]=20.0283*sin(315.0*pai/180);
x[23]=20.0299*cos(330.0*pai/180);y[23]=20.0299*sin(330.0*pai/180);
x[24]=20.0283*cos(345.0*pai/180);y[24]=20.0283*sin(345.0*pai/180);
(例2)pa=3.1415926;
x[1]=20.0073;y[1]=0.0;
x[2]=20.0083*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=20.0083*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=20.017*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=20.017*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=20.0209*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=20.0209*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=20.015*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=20.015*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=20.0065*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=20.0065*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=20.00*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=20.00*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=20.0096*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=20.0096*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=20.0232*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=20.0232*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=20.0167*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=20.0167*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=20.0148*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=20.0148*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=20.0031*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=20.0031*sin(330.0*pa/180.0);
（例3）pa=3.1415926;
x[1]=20.0051;y[1]=0.0;
x[2]=(20.0-0.002)*cos(30.0*pa/180);y[2]=(20.0-0.002)*sin(30.0*pa/180);
x[3]=(20.0-0.00384)*cos(60.0*pa/180);y[3]=(20.0-0.00384)*sin(60.0*pa/180);
x[4]=(20.0-0.0039)*cos(90.0*pa/180);y[4]=(20.0-0.0039)*sin(90.0*pa/180);
x[5]=20.00374*cos(120.0*pa/180);y[5]=20.00374*sin(120.0*pa/180);
x[6]=20.00297*cos(150.0*pa/180);y[6]=20.00297*sin(150.0*pa/180);
x[7]=(20.0-0.00075)*cos(180*pa/180);y[7]=(20.0-0.00075)*sin(180*pa/180);
x[8]=20.00075*cos(210.0*pa/180);y[8]=20.00075*sin(210.0*pa/180);
x[9]=(20.0-0.00061)*cos(240.0*pa/180);y[9]=(20.0-0.00061)*sin(240.0*pa/180);
x[10]=(20.0-0.00335)*cos(270.0*pa/180);y[10]=(20.0-0.00335)*sin(270.0*pa/180);
x[11]=(20.0-0.00259)*cos(300.0*pa/180);y[11]=(20.0-0.00259)*sin(300.0*pa/180);
x[12]=20.00448*cos(330.0*pa/180);y[12]=20.00448*sin(330.0*pa/180);
（例4）pa=3.1415926;
x[1]=10.006;y[1]=0.0;
x[2]=10.007*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=10.007*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=10.005*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=10.005*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=10.0035*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=10.0035*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=10.005*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=10.005*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=10.0075*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=10.0075*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=10.0045*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=10.0045*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=10.0065*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=10.0065*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=10.007*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=10.007*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=10.0045*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=10.0045*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=10.0065*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=10.0065*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=10.0065*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=10.0065*sin(330.0*pa/180.0);
该文中列出的圆度误差分别是为31.1μm、21.2μm、8.2μm、3.5μm；用本法计算，误差分别为
31.03065μm（圆心：-0.0021672，-0.0028065）、
21.22307μm（圆心：0.00124228，-0.00156466）、
8.2340μm（圆心：0.00065420，-0.00043796）、
3.499985μm（圆心：-0.000289033，-0.000500202）。

文献[5] 给出的算例,有12个样本点：pa=3.1415926;
x[1]=50.006;y[1]=0.0;
x[2]=50.007*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=50.007*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=50.005*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=50.005*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=50.0035*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=50.0035*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=50.005*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=50.005*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=50.0075*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=50.0075*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=50.0045*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=50.0045*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=50.0065*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=50.0065*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=50.007*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=50.007*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=50.0045*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=50.0045*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=50.0065*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=50.0065*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=50.0065*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=50.0065*sin(330.0*pa/180.0);
以该文列出的圆度误差最佳结果为3.573μm；用本法计算得出的圆度误差为3.498077μm（圆心：-0.000287956，-0.000499725）。

文献[6] 给出二个的算例,都是12个样本点：
（例1）pa=3.1415926;
x[1]=20.0051;y[1]=0.0;
x[2]=(20.0-0.002)*cos(30.0*pa/180);y[2]=(20.0-0.002)*sin(30.0*pa/180);
x[3]=(20.0-0.00384)*cos(60.0*pa/180);y[3]=(20.0-0.00384)*sin(60.0*pa/180);
x[4]=(20.0-0.0039)*cos(90.0*pa/180);y[4]=(20.0-0.0039)*sin(90.0*pa/180);
x[5]=20.00374*cos(120.0*pa/180);y[5]=20.00374*sin(120.0*pa/180);
x[6]=20.00297*cos(150.0*pa/180);y[6]=20.00297*sin(150.0*pa/180);
x[7]=(20.0-0.00075)*cos(180*pa/180);y[7]=(20.0-0.00075)*sin(180*pa/180);
x[8]=20.00075*cos(210.0*pa/180);y[8]=20.00075*sin(210.0*pa/180);
x[9]=(20.0-0.00061)*cos(240.0*pa/180);y[9]=(20.0-0.00061)*sin(240.0*pa/180);
x[10]=(20.0-0.00335)*cos(270.0*pa/180);y[10]=(20.0-0.00335)*sin(270.0*pa/180);
x[11]=(20.0-0.00259)*cos(300.0*pa/180);y[11]=(20.0-0.00259)*sin(300.0*pa/180);
x[12]=20.00448*cos(330.0*pa/180);y[12]=20.00448*sin(330.0*pa/180);
（例2）pa=3.1415926;
x[1]=10.006;y[1]=0.0;
x[2]=10.007*cos(30.0*pa/180);y[2]=10.007*sin(30.0*pa/180);
x[3]=10.005*cos(60.0*pa/180);y[3]=10.005*sin(60.0*pa/180);
x[4]=10.0035*cos(90.0*pa/180);y[4]=10.0035*sin(90.0*pa/180);
x[5]=10.005*cos(120.0*pa/180);y[5]=10.005*sin(120.0*pa/180);
x[6]=10.0075*cos(150.0*pa/180);y[6]=10.0075*sin(150.0*pa/180);
x[7]=10.0045*cos(180*pa/180);y[7]=10.0045*sin(180*pa/180);
x[8]=10.0065*cos(210.0*pa/180);y[8]=10.0065*sin(210.0*pa/180);
x[9]=10.007*cos(240.0*pa/180);y[9]=10.007*sin(240.0*pa/180);
x[10]=10.0045*cos(270.0*pa/180);y[10]=10.0045*sin(270.0*pa/180);
x[11]=10.0065*cos(300.0*pa/180);y[11]=10.0065*sin(300.0*pa/180);
x[12]=10.0065*cos(330.0*pa/180);y[12]=10.0065*sin(330.0*pa/180);
以该文所用的最小区域法算出的圆度误差最佳结果,分别为31.1μm、21.2μm；用本法计算得出的圆度误差分别31.0306μm（圆心：-0.00216677，0.00280622）、21.2231μm（圆心：0.00124228，-0.00156466）。

参考文献：
[1] 温秀兰进化计算应用于计量测试技术的理论研究东南大学博士论文 2004.1.2
[2] 廖平基于遗传算法的形状误差计算研究中南大学博士论文 2002.11.1
基于分割逼近法的圆度误差计算计量与测试被术•1999•№ 5
基于遗传算法的圆的半径测量计量学报2001年4月第22卷第2期
[3] 周剑平基于MATLAB的圆度评定方法计量与测试技术 2005年32卷第2期
[4] 丁和一种图解圆度误差的方法计量技术 1997．№ 3
[5] 沈先钊圆度、圆柱度和同轴度计算机测量数据最小区域法处理算法研究中国机械工程第14卷第17期2003年9月上半月
[6] 黄蔚远. 圆度误差最小区域法计量技术 1989.10

程序开发人: 林翔 0591-88932139 E-MAIL: xl0420@163.com

xl0420 - 2008-8-30 1:40:00

平面度误差算例及结果分析
-------林翔
引用文献(1) 给出的算例，该例有25个样本点：x坐标=5@2500； y坐标=5@2500；

z[1]=0;
z[2]=3.242;
z[3]=6.983;
z[4]=9.725;
z[5]=7.967;
z[6]=-0.058;
z[7]=7.121;
z[8]=6.096;
z[9]=8.495;
z[10]=8.875;
z[11]=4.283;
z[12]=3.733;
z[13]=8.601;
z[14]=4.933;
z[15]=4.383;
z[16]=4.925;
z[17]=7.015;
z[18]=6.121;
z[19]=4.724;
z[20]=3.192;
z[21]=7.967;
z[22]=6.1;
z[23]=5.233;
z[24]=3.367;
z[25]=0;

借助LabVIEW软件用快速逼近法实现平面度误差（最小区域法）评定，计算出的平面度误差为8.971μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为8.9715719μm（基准平面方程的各参数:a=-0.000010，b=0.000010，c=1）,两者基本一致。

引用文献(2) 给出的第二个算例，该例有36个样本点：

z[1]=32.4;
z[2]=25.6;
z[3]=13.6;
z[4]=5.6;
z[5]=-2.8;
z[6]=-4.0;
z[7]=5.6;
z[8]=21.6;
z[9]=29.6;
z[10]=34.8;
z[11]=34;
z[12]=33.6;
z[13]=47.2;
z[14]=37.2;
z[15]=22.8;
z[16]=12;
z[17]=3.2;
z[18]=1.2;
z[19]=13.2;
z[20]=32;
z[21]=43.2;
z[22]=51.2;
z[23]=52;
z[24]=51.2;
z[25]=56.4;
z[26]=42.8;
z[27]=24.8;
z[28]=11.2;
z[29]=1.6;
z[30]=0;
z[31]=15.6;
z[32]=36.8;
z[33]=51.2;
z[34]=61.6;
z[35]=63.6;
z[36]=62;

（pai=3.1415926;）

x[1]=3*cos(0.0/180*pai);
x[2]=3*cos(30.0/180*pai);
x[3]=3*cos(60.0/180*pai);
x[4]=3*cos(90.0/180*pai);
x[5]=-3*cos(60/180*pai);
x[6]=-3*cos(30.0/180*pai);
x[7]=-3*cos(0/180*pai);
x[8]=-3*cos(30.0/180*pai);
x[9]=-3*cos(60.0/180*pai);
x[10]=3*cos(90.0/180*pai);
x[11]=3*cos(60.0/180*pai);
x[12]=3*cos(30.0/180*pai);
x[13]=5*cos(0.0/180*pai);
x[14]=5*cos(30.0/180*pai);
x[15]=5*cos(60.0/180*pai);
x[16]=5*cos(90.0/180*pai);
x[17]=-5*cos(60.0/180*pai);
x[18]=-5*cos(30.0/180*pai);
x[19]=-5*cos(0.0/180*pai);
x[20]=-5*cos(30.0/180*pai);
x[21]=-5*cos(60.0/180*pai);
x[22]=5*cos(90.0/180*pai);
x[23]=5*cos(60.0/180*pai);
x[24]=5*cos(30.0/180*pai);
x[25]=7*cos(0.0/180*pai);
x[26]=7*cos(30.0/180*pai);
x[27]=7*cos(60.0/180*pai);
x[28]=7*cos(90.0/180*pai);
x[29]=-7*cos(60.0/180*pai);
x[30]=-7*cos(30.0/180*pai);
x[31]=-7*cos(0.0/180*pai);
x[32]=-7*cos(30.0/180*pai);
x[33]=-7*cos(60.0/180*pai);
x[34]=-7*cos(90.0/180*pai);
x[35]=7*cos(60.0/180*pai);
x[36]=7*cos(30.0/180*pai);
y[1]=3*sin(0.0/180*pai);
y[2]=3*sin(30.0/180*pai);
y[3]=3*sin(60.0/180*pai);
y[4]=3*sin(90.0/180*pai);
y[5]=3*sin(60.0/180*pai);
y[6]=3*sin(30.0/180*pai);
y[7]=3*sin(0.0/180*pai);
y[8]=-3*sin(30.0/180*pai);
y[9]=-3*sin(60.0/180*pai);
y[10]=-3*sin(90.0/180*pai);
y[11]=-3*sin(60.0/180*pai);
y[12]=-3*sin(30.0/180*pai);
y[13]=5*sin(0.0/180*pai);
y[14]=5*sin(30.0/180*pai);
y[15]=5*sin(60.0/180*pai);
y[16]=5*sin(90.0/180*pai);
y[17]=5*sin(60.0/180*pai);
y[18]=5*sin(30.0/180*pai);
y[19]=5*sin(0.0/180*pai);
y[20]=-5*sin(30.0/180*pai);
y[21]=-5*sin(60.0/180*pai);
y[22]=-5*sin(90.0/180*pai);
y[23]=-5*sin(60.0/180*pai);
y[24]=-5*sin(30.0/180*pai);
y[25]=7*sin(0.0/180*pai);
y[26]=7*sin(30.0/180*pai);
y[27]=7*sin(60.0/180*pai);
y[28]=7*sin(90.0/180*pai);
y[29]=7*sin(60.0/180*pai);
y[30]=7*sin(30.0/180*pai);
y[31]=7*sin(0.0/180*pai);
y[32]=-7*sin(30.0/180*pai);
y[33]=-7*sin(60.0/180*pai);
y[34]=-7*sin(90.0/180*pai);
y[35]=-7*sin(60.0/180*pai);
y[36]=-7*sin(30.0/180*pai);

其计算出的平面度误差为30.25μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为30.246612μm（a=-0.0290181，b=0.041135，c=1，d=-26.273592），两者也基本一致。

引用参考文献(3) 给出的算例，该例有40个样本点：x坐标=5@2000； y坐标=8@4000；

z[1]=-0.21;
z[2]=-0.25;
z[3]=0.07;
z[4]=0.21;
z[5]=0.53;
z[6]=-0.25;
z[7]=-0.05;
z[8]=-0.14;
z[9]=0.15;
z[10]=0.33;
z[11]=0.06;
z[12]=0.13;
z[13]=0.11;
z[14]=0.25;
z[15]=0.23;
z[16]=0.11;
z[17]=-0.08;
z[18]=-0.14;
z[19]=0.07;
z[20]=0.22;
z[21]=0.23;
z[22]=0.19;
z[23]=0.03;
z[24]=0.03;
z[25]=0.17;
z[26]=0.19;
z[27]=0.10;
z[28]=0.08;
z[29]=0.13;
z[30]=0.2;
z[31]=0.22;
z[32]=0.15;
z[33]=0.12;
z[34]=0.09;
z[35]=0.25;
z[36]=0.2;
z[37]=0.04;
z[38]=0.35;
z[39]=0.27;
z[40]=0.18;

使用遗传基因算法，计算出的平面度误差为0.538964μm；用本算法进行计算，平面度误差为0.52875μm（a=-0.000042、b=-0.000002、c=1）。

参考文献(4)中给出了一个算例，它是实际测得的一个平面上的25个点的坐标：x坐标=5@100000； y坐标=5@100000；

z[1]=10.71;
z[2]= 4.30 ;
z[3]=-2.69;
z[4]=-8.67;
z[5]=-13.63;
z[6]=8.81;
z[7]=1.90;
z[8]=-5.00;
z[9]=-11.01;
z[10]=-16.19;
z[11]=6.31;
z[12]=-0.82;
z[13]=-7.77;
z[14]=-14.03;
z[15]=-19.10;
z[16]=4.01;
z[17]=-3.17;
z[18]=-10.22;
z[19]=-16.65;
z[20]=-21.86;
z[21]=1.91;
z[22]=-5.24;
z[23]=-12.29;
z[24]=-18.53;
z[25]=-24.09;

文献(4)给出了通过广为人知的软件Matlab进行平面度误差的计算法，得到的平面度误差值为2.0268μm。用本算法求得的平面度误差为1.90999996μm（a=0.000064、b=0.000025、c=1.0）。

引用文献(5) 给出的算例，该例有48个样本点：x坐标=6@200000； y坐标=8@200000；

z[1]=-0.5;
z[2]=-0.5;
z[3]=-1.0;
z[4]=-0.5;
z[5]=-1.5;
z[6]=-3.0;
z[7]=-2.0;
z[8]=-1.5;
z[9]=0;
z[10]=0;
z[11]=-0.5;
z[12]=-1;
z[13]=-2.2;
z[14]=-5.5;
z[15]=-5;
z[16]=-5.2;
z[17]=0;
z[18]=0;
z[19]=0;
z[20]=-0.5;
z[21]=-1;
z[22]=-1.5;
z[23]=-1;
z[24]=-1;
z[25]=-0.5;
z[26]=0.5;
z[27]=0.5;
z[28]=0;
z[29]=0.5;
z[30]=-1;
z[31]=-0.5;
z[32]=-0.5;
z[33]=0;
z[34]=1;
z[35]=1;
z[36]=0;
z[37]=0;
z[38]=0;
z[39]=0;
z[40]=0;
z[41]=0.5;
z[42]=1;
z[43]=1.5;
z[44]=0.5;
z[45]=0.5;
z[46]=-0.5;
z[47]=-0.5;
z[48]=0;

以该文之算法计算出的直线度误差为12μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为9.951575μm（a=0.001425，b=-0.001908，c=1）。

引用文献(6) 给出的算例，该例有25个样本点：x坐标=5@95000； y坐标=5@153000；

z[1]=0.0;
z[2]=0.63;
z[3]=-0.27;
z[4]=-2.7;
z[5]=-3.6;
z[6]=1.95;
z[7]=-1.8;
z[8]=-0.94;
z[9]=-1.80;
z[10]=-1.75;
z[11]=1.05;
z[12]=-0.96;
z[13]=-1.8;
z[14]=-1.91;
z[15]=-0.85;
z[16]=-1.75;
z[17]=-5.4;
z[18]=-2.27;
z[19]=0.0;
z[20]=0.05;
z[21]=-3.6;
z[22]=-3.08;
z[23]=-1.04;
z[24]=1.01;
z[25]=0.0;

其计算出的平面度误差为7.35μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为6.5799999237μm（a=0.000005，b=-0.000001，c=1）。

引用文献(7) 给出的第3个算例，该例有70个样本点：x坐标=7@10000； y坐标=10@10000；

z[1]=0;
z[2]=-7.38;
z[3]=-14.66;
z[4]=-21.10;
z[5]=-26.53;
z[6]=-31.24;
z[7]=-35.87;
z[8]=-39.24;
z[9]=-24.08;
z[10]=-43.93;
z[11]=0.8;
z[12]=-6.65;
z[13]=-13.93;
z[14]=-20.56;
z[15]=-26.03;
z[16]=-31.11;
z[17]=-35.53;
z[18]=-39.16;
z[19]=-41.96;
z[20]=-43.41;
z[21]=1.91;
z[22]=-5.24;
z[23]=-12.29;
z[24]=-18.53;
z[25]=-24.09;
z[26]=-28.91;
z[27]=-33.22;
z[28]=-37.05;
z[29]=-39.99;
z[30]=-41.96;
z[31]=4.01;
z[32]=-3.17;
z[33]=-10.22;
z[34]=-16.65;
z[35]=-21.86;
z[36]=-26.55;
z[37]=-30.64;
z[38]=-34.52;
z[39]=-37.59;
z[40]=-39.62;
z[41]=6.31;
z[42]=-0.82;
z[43]=-7.77;
z[44]=-14.03;
z[45]=-19.10;
z[46]=-23.86;
z[47]=-27.90;
z[48]=-31.66;
z[49]=-34.67;
z[50]=-37.13;
z[51]=8.81;
z[52]=1.9;
z[53]=-5.0;
z[54]=-11.01;
z[55]=-16.19;
z[56]=-20.7;
z[57]=-24.5;
z[58]=-28.11;
z[59]=-30.99;
z[60]=-33.68;
z[61]=10.71;
z[62]=4.2;
z[63]=-2.69;
z[64]=-8.67;
z[65]=-13.63;
z[66]=-18.26;
z[67]=-22.04;
z[68]=-25.43;
z[69]=-28.58;
z[70]=-31.71;

用其“有序判别法”计算出的平面度误差为6.55μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为6.54999971μm（a=-0.000001，b=-0.000002，c=1）。
引用文献(8) 给出的表3算例，该例有25个样本点：x坐标=5@10000； y坐标=5@10000；

z[1]=0;
z[2]=0.008;
z[3]=0.013;
z[4]=0.010;
z[5]=0.010;
z[6]=0.005;
z[7]=0.002;
z[8]=0.008;
z[9]=0.009;
z[10]=0.009;
z[11]=0.005;
z[12]=0.006;
z[13]=0.006;
z[14]=0.007;
z[15]=0.011;
z[16]=0.003;
z[17]=0.003;
z[18]=0.005;
z[19]=0.009;
z[20]=0.009;
z[21]=0.003;
z[22]=0.010;
z[23]=0.005;
z[24]=0.009;
z[25]=0.009;

用POWELL法计算出的平面度误差为8.5μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为8.49999531μm（a=-0.000233，b=0.000017，c=1）。

参考文献：
（1）杨碧仪, 黄镇昌由虚拟仪器LabVIEW实现最小区域法评定平面度误差现代制造工程2004(12)
（2）吕震宇一种使用最小包容区域法基于旋转变换求解平面度误差的方法河北理工学院学报 2OOO年2月第22卷第l期
（3）王萍,谢驰,廖世鹏小零件平面度误差测量的一种新方法工具技术2004 年第38 卷E6
（4）史立新，朱思洪基于Matlab的平面度误差最小区域法评定组合机床与自动化加工技术2005 年第9 期
（5）沈兴东，李富来平面度最小区域法在铸铁平板检测中的应用天津职业大学学报2003年10月第12卷第5期
（6）宫美望平面度测量中采样点数据的归一处理工业计量2003年第6期
（7）张之江，于瀛洁，张善钟平面度误差最小区域新算法——有序判别法计量学报 1998年第19卷第1期
（8）形状误差的优化算法彭祖行计量学报 1992.10

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直线度误差（平面）算例及结果分析
----------林翔
文献[1] 给出了二个算例:
算例1：有15个样本点：

x[1]=0.3952;y[1]=-0.0032;
x[2]=0.6953;y[2]=-0.0016;
x[3]=0.9669;y[3]=-0.0042;
x[4]=1.2762;y[4]=-0.0028;
x[5]=1.5797;y[5]=-0.0037;
x[6]=1.8593;y[6]=-0.0007;
x[7]=2.1333;y[7]=-0.0010;
x[8]=2.4197;y[8]=0.0007;
x[9]=2.6001;y[9]=0.0007;
x[10]=2.8590;y[10]=0.0017;
x[11]=3.0662;y[11]=0.0025;
x[12]=3.2165;y[12]=-0.0017
x[13]=3.4217;y[13]=0.0026;
x[14]=3.6179;y[14]=0.0027;
x[15]=3.8185;y[15]=0.0047;

该文引用了多种方法计算的直线度误差，最小者为5.1856μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为5.185658112μm（平面基准直线的斜率k=0.002017)。

算例2：有25个样本点：

x[1]=0.2845;y[1]=-0.0034;
x[2]=0.6600;y[2]=-0.0032;
x[3]=1.2041;y[3]=-0.0030;
x[4]=1.4994;y[4]=-0.0035;
x[5]=1.8494;y[5]=-0.0036;
x[6]=2.2261;y[6]=-0.0025;
x[7]=2.5724;y[7]=-0.0028;
x[8]=2.9076;y[8]=-0.0026;
x[9]=3.2548;y[9]=-0.0031;
x[10]=3.4142;y[10]=-0.0031;
x[11]=3.6307;y[11]=-0.0029;
x[12]=3.9237;y[12]=-0.0029;
x[13]=4.2647;y[13]=-0.0028;
x[14]=4.5122;y[14]=-0.0028;
x[15]=4.8150;y[15]=-0.0027;
x[16]=5.1334;y[16]=-0.0027;
x[17]=5.3603;y[17]=-0.0030;
x[18]=5.6534;y[18]=-0.0032;
x[19]=5.9058;y[19]=-0.0020;
x[20]=6.0774;y[20]=-0.0019;
x[21]=6.2962;y[21]=-0.0019;
x[22]=6.5240;y[22]=-0.0019;
x[23]=6.7114;y[23]=-0.0017;
x[24]=6.9996;y[24]=-0.0019;
x[25]=7.2076;y[25]=-0.0017;

该文同样引用了多种方法计算的直线度误差，最小者为1.311μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为1.3112946μm（k=0.000178)。

文献[2] 给出的算例,有8个样本点：

x[1]=0;y[1]=0;
x[2]=100;y[2]=20.113;
x[3]=200;y[3]=40.151;
x[4]=300;y[4]=60.005;
x[5]=400;y[5]=80.017;
x[6]=500;y[6]=100.106;
x[7]=600;y[7]=120.101;
x[8]=700;y[8]=140.112;

以该文使用的方法计算的直线度误差,为145μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为144.7988749μm（k=0.200017)。
文献[3] 给出的算例,有7个样本点：

x[1]=100;y[1]=0.0;
x[2]=200;y[2]=-5;
x[3]=300;y[3]=-7;
x[4]=400;y[4]=-6;
x[5]=500;y[5]=-9;
x[6]=600;y[6]=-3;
x[7]=700;y[7]=-6;

该文使用“LINGO”计算的直线度误差为6.6μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为6.5998812μm（k=-0.00600)。
文献[4] 给出的算例,有15个样本点：

x[1]=100000;
y[1]=0;
x[2]=200000;
y[2]=5.5;
x[3]=300000;
y[3]=2;
x[4]=400000;
y[4]=0.5;
x[5]=500000;
y[5]=0.5;
x[6]=600000;
y[6]=-0.5;
x[7]=700000;
y[7]=-1.5;
x[8]=800000;
y[8]=0;
x[9]=900000;
y[9]=7;
x[10]=1000000;
y[10]=11;
x[11]=1100000;
y[11]=9;
x[12]=1200000;
y[12]=8.5;
x[13]=1300000;
y[13]=14;
x[14]=1400000;
y[14]=17;
x[15]=1500000;
y[15]=15;

该文计算的直线度误差为11.7917μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为11.79166985μm（k=0.000010)。

文献[5] 给出的算例,有20个样本点：

x[1]=0.0;y[1]=0.0;
x[2]=200.0;y[2]=0.001;
x[3]=400.0;y[3]=0.019;
x[4]=600.0;y[4]=0.016;
x[5]=800.0;y[5]=0.014;
x[6]=50;y[6]=0;
x[7]=250;y[7]=0.008;
x[8]=450;y[8]=0.017;
x[9]=650;y[9]=0.015;
x[10]=850;y[10]=0.013;
x[11]=100.0;y[11]=-0.001;
x[12]=300;y[12]=0.013;
x[13]=500;y[13]=0.017;
x[14]=700;y[14]=0.013;
x[15]=900;y[15]=0.015;
x[16]=150;y[16]=-0.003;
x[17]=350;y[17]=0.015;
x[18]=550;y[18]=0.014;
x[19]=750;y[19]=0.012;
x[20]=950;y[20]=0.017;
该文计算的直线度误差为0.01628571mm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为0.0162857138mm（k=0.000023)。

参考文献：
[1] 温秀兰进化计算应用于计量测试技术的理论研究东南大学博士论文 2004.1.2
[2] 廖平基于遗传算法的形状误差计算研究中南大学博士论文 2002.11.1
[3] 陈国强，赵俊伟基于LINGO的直线度误差精确评定计算机应用技术 2005年第5期总第32卷
[4] 蔺小军直线度误差最小区域计算方法一有序判别法计量与测试技术 2002№ 6
[5] 韩祖行形状误差的优化算法计量学报 1992年l0月第13卷第4期

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空间直线度误差算例及结果分析
---------------林翔

引用文献(1)中给出的算例，它给出了12个点:

x[1]=66.1;y[1]=172.595; z[1]=562.834;
x[2]=132.2;y[2]=203.973; z[2]=526.790;
x[3]=198.3;y[3]=234.613; z[3]=489.648;
x[4]=264.4;y[4]=265.19; z[4]=453.520;
x[5]=330.0;y[5]=295.962; z[5]=417.192;
x[6]=396.6;y[6]=324.378; z[6]=383.661;
x[7]=462.7;y[7]=351.642; z[7]=351.457;
x[8]=528.8;y[8]=386.757; z[8]=309.969;
x[9]=594.9;y[9]=409.565; z[9]=283.08;
x[10]=661.0;y[10]=440.815; z[10]=246.174;
x[11]=724.1;y[11]=478.072; z[11]=202.18;
x[12]=793.2;y[12]=511.338; z[12]=162.949;

该文计算得到的空间直线度误差值为14.785μm。用本算法求得的空间直线度误差为12.012653μm（a=463.200043，b=215.272156，c=-254.330841，x0=796.707275, y0=508.137115, z0=166.627213）。

引用参考文献(2) 给出的算例，有21个样本点: Z坐标=@5;

x[1]=2.998;y[1]=4.0;
x[2]=8.012;y[2]=13.986;
x[3]=13.013;y[3]=23.995;
x[4]=17.986;y[4]=34.011;
x[5]=22.987;y[5]=44.013;
x[6]=28.024;y[6]=53.979;
x[7]=32.986;y[7]=63.992;
x[8]=38.013;y[8]=74.008;
x[9]=42.985;y[9]=83.994;
x[10]=47.979;y[10]=94.013;
x[11]=53.012;y[11]=104.013;
x[12]=57.989;y[12]=114.010;
x[13]=63.009;y[13]=124.008;
x[14]=68.007;y[14]=133.979;
x[15]=73.009;y[15]=144.011;
x[16]=78.014;y[16]=153.997;
x[17]=83.013;y[17]=164.007;
x[18]=87.989;y[18]=174.008;
x[19]=93.009;y[19]=183.998;
x[20]=97.996;y[20]=194.010;
x[21]=103.00;y[21]=204.00;

该文给出的其空间直线度误差为0.060mm；用本算法进行计算，空间直线度误差为0.050916mm（a=-19.999802，b=-40.010109，c=-20.002991，x0=28.001875, y0=53.991333, z0=25.997542）。

引用参考文献(3) 给出的算例，该例有8个样本点: Z坐标=@100000;

x[1]=0.0;y[1]=0.0;
x[2]=1.0;y[2]=1.0;
x[3]=2.0;y[3]=4.0;
x[4]=0.0;y[4]=0.0;
x[5]=3.0;y[5]=4.0;
x[6]=-0.20;y[6]=-0.5;
x[7]=-1.5;y[7]=-1.0;
x[8]=3.0;y[8]=-1.0;

以该文的方法计算出的直线度误差为7.026μm；用本算法进行计算，直线度误差为6.334943μm（b=-0.074067，c=-0.746406，a =-200000，y0=1.477402, z0=2.801814, x0=0.0）。

引用参考文献(4) 给出的算例(表2)，该例有22个样本点:z[1]=1;z[2]=5;其后z坐标=@5;

x[1]=3.998;y[1]=6.0;
x[2]=8.012;y[2]=13.986;
x[3]=13.013;y[3]=23.995;
x[4]=17.986;y[4]=34.011;
x[5]=22.987;y[5]=44.013;
x[6]=28.024;y[6]=53.979;
x[7]=32.986;y[7]=63.992;
x[8]=38.013;y[8]=74.008;
x[9]=42.985;y[9]=83.994;
x[10]=47.979;y[10]=94.013;
x[11]=53.012;y[11]=104.013;
x[12]=57.989;y[12]=114.010;
x[13]=63.009;y[13]=124.008;
x[14]=68.007;y[14]=133.979;
x[15]=73.009;y[15]=144.011;
x[16]=78.014;y[16]=153.997;
x[17]=83.013;y[17]=164.007;
x[18]=87.989;y[18]=174.008;
x[19]=93.009;y[19]=183.988;
x[20]=97.996;y[20]=194.010;
x[21]=103.000;y[21]=204.000;
x[22]=108.0009;y[22]=214.000;

以该文的POWELL算法计算出的直线度误差为52.799μm；用本算法进行计算，直线度误差为50.938μm（a=19.999773，b=40.010029，c =20.003191，x0=48.001652, y0=94.001373, z0=45.000618）。

引用参考文献(5) 给出的算例，该例有12个样本点:

x[1]=172.595;y[1]=562.834; z[1]=66.162
x[2]=203.973;y[2]=525.790; z[2]=66.127
x[3]=234.613;y[3]=489.648; z[3]=66.126
x[4]=265.190;y[4]=453.520; z[4]=66.155
x[5]=295.962;y[5]=417.192; z[5]=66.130
x[6]=324.378;y[6]=383.661; z[6]=66.128
x[7]=351.642;y[7]=351.457; z[7]=66.135
x[8]=386.767;y[8]=309.969; z[8]=66.117
x[9]=409.565;y[9]=283.080; z[9]=66.130
x[10]=440.815;y[10]=246.174; z[10]=66.153
x[11]=478.072;y[11]=202.180; z[11]=66.123
x[12]=511.338;y[12]=162.949; z[12]=66.124

以该文的算法计算出的直线度误差为0.0455mm；用本算法进行计算，直线度误差为0.044469mm（a=214.178619，b=-252.859375，c =-0.007286，x0=386778442, y0=309.978699, z0=66.131400）。

参考文献：
（1）空间直线度误差的快速评定岳武陵，杨杰，朱志松（南通工学院机械系）计量技术2001.3
（2）空间直线度坐标测量的不确定度计算王金星,蒋向前,徐振高,李柱（华中科技大学机械科学与工程学院）华中科技大学学报（自然科学版）2005年12月第33卷第12期
（3）基于坐标变换原理的最小区域法评定空间直线度误差李淑娟,刘云霞计测技术2006年第26卷第1期
（4）形状误差的优化算法彭祖行计量学报 1992.10
（5）空间直线度的评定侯宇计量技术 1994.03

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圆柱度误差算例及结果分析
-------------林翔
参考文献(1) 给出的算例，被测工件均分为4个断面、每断面周边上6个测量点，计24个样本点:

x[1]=11094.3;y[1]=452.2; z[1]=65232.8
x[2]=5094.0;y[2]=10845.0; z[2]=65076.5
x[3]=-6906.3;y[3]=10843.9; z[3]=65008.9
x[4]=-12906.5;y[4]=449.8; z[4]=65089.7
x[5]=-6906.3;y[5]=-9942.9; z[5]=65054.0
x[6]=5094.0;y[6]=-9941.8; z[6]=65221.6
x[7]=10954.6;y[7]=522.0; z[7]=75231.6
x[8]=4954.4;y[8]=10914.8; z[8]=75075.2
x[9]=-7045.9;y[9]=10913.7; z[9]=75077.0
x[10]=-13046.1;y[10]=519.6; z[10]=74896.4
x[11]=-7045.9;y[11]=-9873.1; z[11]=75052.8
x[12]=4954.47;y[12]=-9872.0; z[12]=75220.4
x[13]=10815.0;y[13]=591.8; z[13]=85230.7
x[14]=4814.8;y[14]=10984.6; z[14]=85074.0
x[15]=-7185.5;y[15]=10983.5; z[15]=85064.1
x[16]=-13185.8;y[16]=589.4; z[16]=84895.2
x[17]=-7185.5;y[17]=-9803.3; z[17]=85051.6
x[18]=4814.9;y[18]=-9802.2; z[18]=85217.1
x[19]=10675.4;y[19]=661.6; z[19]=95229.1
x[20]=4675.2;y[20]=11054.4; z[20]=95072.8
x[21]=-7325.3;y[21]=11053.3; z[21]=94907.7
x[22]=-13325.4;y[22]=659.2; z[22]=95094.0
x[23]=-7325.2;y[23]=-9733.5; z[23]=95050.4
x[24]=4675.2;y[24]=-9732.3; z[24]=95217.9

以该文的方法计算出的圆柱度误差为0.002788mm；用本算法进行计算，圆柱度误差为0.002788mm（圆柱轴心基准直线方程的各参数:a=0.142388，b= -0.071148，c= -10.198753，x0= -1.184961, y0=0.590827, z0=85.062744）,圆柱的外径r外=12.002007。二者结果是一样的。

引用参考文献(2) 给出的算例，一个半径40mm、长度500mm被测工件，均分为6个断面、每断面周边上12个测量点，计72个样本点:z坐标=6*12@100000，pai=3.1415926;
x[1]=40005.73;y[1]=0.0;
x[2]=40006.32*cos(30.0/180.0*pai);y[2]=40006.32*sin(30.0/180.0*pai);
x[3]=40010.3*cos(60.0/180.0*pai);y[3]=40010.3*sin(60.0/180.0*pai);
x[4]=40005.9*cos(90.0/180.0*pai);y[4]=40005.9*sin(90.0/180.0*pai);
x[5]=40006.44*cos(120.0/180.0*pai);y[5]=40006.44*sin(120.0/180.0*pai);
x[6]=40003.14*cos(150.0/180.0*pai);y[6]=40003.14*sin(150.0/180.0*pai);
x[7]=40002.17*cos(180.0/180.0*pai);y[7]=40002.17*sin(180.0/180.0*pai);
x[8]=40005.74*cos(210.0/180.0*pai);y[8]=40005.74*sin(210.0/180.0*pai);
x[9]=40007.25*cos(240.0/180.0*pai);y[9]=40007.25*sin(240.0/180.0*pai);
x[10]=40003.64*cos(270.0/180.0*pai);y[10]=40003.64*sin(270.0/180.0*pai);
x[11]=40008.22*cos(300.0/180.0*pai);y[11]=40008.22*sin(300.0/180.0*pai);
x[12]=40002.79*cos(330.0/180.0*pai);y[12]=40002.79*sin(330.0/180.0*pai);
x[13]=40007.82;y[13]=0.0;
x[14]=40004.81*cos(30.0/180.0*pai);y[14]=40004.81*sin(30.0/180.0*pai);
x[15]=40005.65*cos(60.0/180.0*pai);y[15]=40005.65*sin(60.0/180.0*pai);
x[16]=40002.75*cos(90.0/180.0*pai);y[16]=40002.75*sin(90.0/180.0*pai);
x[17]=40007.82*cos(120.0/180.0*pai);y[17]=40007.82*sin(120.0/180.0*pai);
x[18]=40002.4*cos(150.0/180.0*pai);y[18]=40002.4*sin(150.0/180.0*pai);
x[19]=40005.00*cos(180.0/180.0*pai);y[19]=40005.00*sin(180.0/180.0*pai);
x[20]=40007.83*cos(210.0/180.0*pai);y[20]=40007.83*sin(210.0/180.0*pai);
x[21]=40004.32*cos(240.0/180.0*pai);y[21]=40004.32*sin(240.0/180.0*pai);
x[22]=40009.21*cos(270.0/180.0*pai);y[22]=40009.21*sin(270.0/180.0*pai);
x[23]=40006.0*cos(300.0/180.0*pai);y[23]=40006.0*sin(300.0/180.0*pai);
x[24]=40004.29*cos(330.0/180.0*pai);y[24]=40004.29*sin(330.0/180.0*pai);
x[25]=40012.7;y[25]=0.0;
x[26]=40003.33*cos(30.0/180.0*pai);y[26]=40003.33*sin(30.0/180.0*pai);
x[27]=40004.31*cos(60.0/180.0*pai);y[27]=40004.31*sin(60.0/180.0*pai);
x[28]=40001.28*cos(90.0/180.0*pai);y[28]=40001.28*sin(90.0/180.0*pai);
x[29]=40010.11*cos(120.0/180.0*pai);y[29]=40010.11*sin(120.0/180.0*pai);
x[30]=40004.86*cos(150.0/180.0*pai);y[30]=40004.86*sin(150.0/180.0*pai);
x[31]=40008.12*cos(180.0/180.0*pai);y[31]=40008.12*sin(180.0/180.0*pai);
x[32]=40011.03*cos(210.0/180.0*pai);y[32]=40011.03*sin(210.0/180.0*pai);
x[33]=40003.29*cos(240.0/180.0*pai);y[33]=40003.29*sin(240.0/180.0*pai);
x[34]=40008.41*cos(270.0/180.0*pai);y[34]=40008.41*sin(270.0/180.0*pai);
x[35]=40003.24*cos(300.0/180.0*pai);y[35]=40003.24*sin(300.0/180.0*pai);
x[36]=40009.46*cos(330.0/180.0*pai);y[36]=40009.46*sin(330.0/180.0*pai);
x[37]=40008.34;y[37]=0.0;
x[38]=40002.0*cos(30.0/180.0*pai);y[38]=40002.0*sin(30.0/180.0*pai);
x[39]=40005.88*cos(60.0/180.0*pai);y[39]=40005.88*sin(60.0/180.0*pai);
x[40]=40005.29*cos(90.0/180.0*pai);y[40]=40005.29*sin(90.0/180.0*pai);
x[41]=40006.17*cos(120.0/180.0*pai);y[41]=40006.17*sin(120.0/180.0*pai);
x[42]=40005.68*cos(150.0/180.0*pai);y[42]=40005.68*sin(150.0/180.0*pai);
x[43]=40004.78*cos(180.0/180.0*pai);y[43]=40004.78*sin(180.0/180.0*pai);
x[44]=40003.74*cos(210.0/180.0*pai);y[44]=40003.74*sin(210.0/180.0*pai);
x[45]=40007.68*cos(240.0/180.0*pai);y[45]=40007.68*sin(240.0/180.0*pai);
x[46]=40006.64*cos(270.0/180.0*pai);y[46]=40006.64*sin(270.0/180.0*pai);
x[47]=40007.36*cos(300.0/180.0*pai);y[47]=40007.36*sin(300.0/180.0*pai);
x[48]=40006.13*cos(330.0/180.0*pai);y[48]=40006.13*sin(330.0/180.0*pai);
x[49]=40006.15;y[49]=0.0;
x[50]=40008.82*cos(30.0/180.0*pai);y[50]=40008.82*sin(30.0/180.0*pai);
x[51]=40007.1*cos(60.0/180.0*pai);y[51]=40007.1*sin(60.0/180.0*pai);
x[52]=40003.32*cos(90.0/180.0*pai);y[52]=40003.32*sin(90.0/180.0*pai);
x[53]=40004.73*cos(120.0/180.0*pai);y[53]=40004.73*sin(120.0/180.0*pai);
x[54]=40003.32*cos(150.0/180.0*pai);y[54]=40003.32*sin(150.0/180.0*pai);
x[55]=40003.94*cos(180.0/180.0*pai);y[55]=40003.94*sin(180.0/180.0*pai);
x[56]=40005.8*cos(210.0/180.0*pai);y[56]=40005.8*sin(210.0/180.0*pai);
x[57]=40005.64*cos(240.0/180.0*pai);y[57]=40005.64*sin(240.0/180.0*pai);
x[58]=40004.17*cos(270.0/180.0*pai);y[58]=40004.17*sin(270.0/180.0*pai);
x[59]=40004.91*cos(300.0/180.0*pai);y[59]=40004.91*sin(300.0/180.0*pai);
x[60]=40005.63*cos(330.0/180.0*pai);y[60]=40005.63*sin(330.0/180.0*pai);
x[61]=40002.23;y[61]=0.0;
x[62]=40009.47*cos(30.0/180.0*pai);y[62]=40009.47*sin(30.0/180.0*pai);
x[63]=40004.98*cos(60.0/180.0*pai);y[63]=40004.98*sin(60.0/180.0*pai);
x[64]=40002.37*cos(90.0/180.0*pai);y[64]=40002.37*sin(90.0/180.0*pai);
x[65]=40005.69*cos(120.0/180.0*pai);y[65]=40005.69*sin(120.0/180.0*pai);
x[66]=40002.45*cos(150.0/180.0*pai);y[66]=40002.45*sin(150.0/180.0*pai);
x[67]=40005.92*cos(180.0/180.0*pai);y[67]=40005.92*sin(180.0/180.0*pai);
x[68]=40008.51*cos(210.0/180.0*pai);y[68]=40008.51*sin(210.0/180.0*pai);
x[69]=40002.63*cos(240.0/180.0*pai);y[69]=40002.63*sin(240.0/180.0*pai);
x[70]=40009.22*cos(270.0/180.0*pai);y[70]=40009.22*sin(270.0/180.0*pai);
x[71]=40004.28*cos(300.0/180.0*pai);y[71]=40004.28*sin(300.0/180.0*pai);
x[72]=40003.64*cos(330.0/180.0*pai);y[72]=40003.64*sin(330.0/180.0*pai);
使用该文介绍的计算方法，计算出的圆柱度误差最佳值为10.435μm；用本算法进行计算，得出的空间直线度误差为10.167969μm（a= -0.200086，b= -0.424666，c = -199999.95313，x0=1.089424, y0= -0.877194, z0=299999.96875），r外=40.011609375mm。

引用文献(3)中给出的（表一）算例，共有10个点：

x[1]=5.08;y[1]=4.42; z[1]=-8.5
x[2]=0.05;y[2]=2.46; z[2]=-9.91
x[3]=-8.61;y[3]=2.08; z[3]=-4.91
x[4]=-4.91;y[4]=3.99; z[4]=8.82
x[5]=-8.54;y[5]=6.28; z[5]=-4.76
x[6]=5.12;y[6]=6.52; z[6]=-8.43
x[7]=0.08;y[7]=4.55; z[7]=-9.84
x[8]=-8.61;y[8]=2.08; z[8]=-4.91
x[9]=-4.87;y[9]=6.09; z[9]=8.89
x[10]=0.12;y[10]=6.65; z[10]=-9.76

以该文计算得到的基准中心线方程验算，其圆柱度误差值为36.250μm。以原文给出的中心线，作为本文算法的初始基准中心线，求得的圆柱度误差为8.998μm（a=-0.037323，b= -2.100352，c= -0.071011，x0=0.090576，y0=4.211837，z0=0.158283）。

引用参考文献(4) 给出的算例，被测工件均分为3个断面、每断面圆周上6个测量点，计18个样本点:

x[1]=466.513;y[1]=536.636; z[1]=56.827
x[2]=439.804;y[2]=551.639; z[2]=56.826
x[3]=421.886;y[3]=539.596; z[3]=56.826
x[4]=421.317;y[4]=515.106; z[4]=56.827
x[5]=452.036;y[5]=503.281; z[5]=56.827
x[6]=455.413;y[6]=504.807; z[6]=56.827
x[7]=468.359;y[7]=529.453; z[7]=203.934
x[8]=451.962;y[8]=555.725; z[8]=203.935
x[9]=422.390;y[9]=545.727; z[9]=203.935
x[10]=425.544;y[10]=514.615; z[10]=203.935
x[11]=445.271;y[11]=507.158; z[11]=203.935
x[12]=463.333;y[12]=516.908; z[12]=203.934
x[13]=466.046;y[13]=549.214; z[13]=376.561
x[14]=451.692;y[14]=562.061; z[14]=376.562
x[15]=418.625;y[15]=541.691; z[15]=376.562
x[16]=419.927;y[16]=529.780; z[16]=376.560
x[17]=456.142;y[17]=516.780; z[17]=376.562
x[18]=467.259;y[18]=530.590; z[18]=376.561

以该文的方法计算得出的中心基线方程为准，将数据回代，得到的圆柱度误差为0.011774mm；用本算法进行计算，圆柱度误差为0.011606mm（a= -0.001526，b= -6.276672，c= -173.650116，x0=443.450806， y0=532.130310，z0=203.301727）。

参考文献：
（1）温秀兰, 宋爱国基于改进遗传算法评定圆柱度误差计量学报 2004年4月第25卷第2期
（2）郑鹏，雷文平，侯伯杰基于修正单纯形法的圆柱度误差优化评定郑州大学学报工学版 2004年6月第25卷第2期
（3）吕广明，陆念力，薛渊，唐余勇最小外包容平行六面体和最小外包容圆柱机械设计 2004年11月第21卷第11期
（4）侯宇，张竞，张尚书，李刚，崔晨阳圆柱度误差评定的最小面积准则及其应用实用测试技术1996年9月第5期

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球度误差算例及结果分析
-------林翔
参考文献(1)中给出的第一个算例，球面上共有50个点:

x[1]=0.81814;y[1]=-0.43615; z[1]=-0.38525
x[2]=-0.80885;y[2]=-0.53045; z[2]=0.27905
x[3]=0.03749;y[3]=0.90643; z[3]=-0.42737
x[4]=0.86935;y[4]=-0.27403; z[4]=-0.42518
x[5]=-0.50786;y[5]=-0.07441; z[5]=0.86060
x[6]=0.75348;y[6]=-0.67012; z[6]=-0.00610
x[7]=0.05867;y[7]=-1.00773; z[7]=-0.00198
x[8]=-0.17486;y[8]=0.60442; z[8]=0.78297
x[9]=0.71121;y[9]=-0.50123; z[9]=-0.50042
x[10]=-0.47493;y[10]=-0.51466; z[10]=0.71992
x[11]=0.06016;y[11]=-0.74129; z[11]=-0.67432
x[12]=0.05337;y[12]=0.02006; z[12]=1.00515
x[13]=0.29869;y[13]=0.87920; z[13]=0.38988
x[14]=-0.15488;y[14]=-0.86697; z[14]=0.48585
x[15]=0.38994;y[15]=-0.0006; z[15]=-0.92592
x[16]=0.00776;y[16]=0.73922; z[16]=0.68741
x[17]=0.62090;y[17]=0.52006; z[17]=-0.59341
x[18]=0.00952;y[18]=-0.03493; z[18]=-1.00376
x[19]=-0.44592;y[19]=0.76584; z[19]=-0.47847
x[20]=0.01069;y[20]=0.99511; z[20]=0.11265
x[21]=-0.93371;y[21]=-0.17351; z[21]=-0.33160
x[22]=-0.48121;y[22]=-0.69836; z[22]=0.53717
x[23]=0.50394;y[23]=0.86933; z[23]=0.03322
x[24]=0.80924;y[24]=0.07332; z[24]=-0.59398
x[25]=0.84569;y[25]=0.06876; z[25]=-0.53570
x[26]=0.36179;y[26]=-0.07902; z[26]=0.93410
x[27]=-0.78624;y[27]=0.20326; z[27]=-0.59063
x[28]=-0.46529;y[28]=0.69616; z[28]=-0.55167
x[29]=-0.93402;y[29]=-0.02267; z[29]=-0.35813
x[30]=0.43016;y[30]=0.49319; z[30]=-0.76122
x[31]=-0.46929;y[31]=0.11501; z[31]=0.88119
x[32]=0.60788;y[32]=-0.41130; z[32]=0.68580
x[33]=0.70712;y[33]=0.46598; z[33]=0.53998
x[34]=0.67398;y[34]=-0.38068; z[34]=-0.63956
x[35]=-0.06245;y[35]=-0.50544; z[35]=0.86696
x[36]=-0.09577;y[36]=0.96216; z[36]=0.26433
x[37]=0.29318;y[37]=0.79379; z[37]=0.54237
x[38]=-0.39873;y[38]=-0.68009; z[38]=0.61867
x[39]=-0.30833;y[39]=-0.07805; z[39]=0.94937
x[40]=-0.70424;y[40]=-0.64359; z[40]=0.31476
x[41]=0.67010;y[41]=-0.17187; z[41]=-0.72841
x[42]=-0.12359;y[42]=-0.70688; z[42]=0.70559
x[43]=-0.09694;y[43]=0.64820; z[43]=-0.75729
x[44]=-0.13014;y[44]=0.04876; z[44]=0.99815
x[45]=-0.28485;y[45]=0.86262; z[45]=-0.43728
x[46]=0.16745;y[46]=-0.11142; z[46]=-0.98603
x[47]=0.00946;y[47]=-0.00746; z[47]=1.00873
x[48]=0.15374;y[48]=-0.33634; z[48]=-0.93141
x[49]=-0.44828;y[49]=0.85926; z[49]=-0.25853
x[50]=-0.61673;y[50]=-0.28843; z[50]=0.73859

文献(1)给出的诸多算法中，最精确的计算结果为0.007660mm。用本方法对该算例进行计算，结果为0.007660mm（球心坐标为0.002504，-0.000096，0.000482）。

引用参考文献(2)中给出了的算例，球面上共有25个点:

x[1]=6.594;y[1]=0; z[1]=11.421143
x[2]=12.740966;y[2]=0; z[2]=7.356
x[3]=15.196;y[3]=0; z[3]=0
x[4]=14.535370;y[4]=0; z[4]=-8.392
x[5]=7.258;y[5]=0; z[5]=-12.571224
x[6]=2.374487;y[6]=7.307918;z[6]=13.309078
x[7]=4.096674;y[7]=12.608267;z[7]=7.654
x[8]=4.074080;y[8]=12.538729;z[8]=0
x[9]=3.751984;y[9]=11.547420;z[9]=7.01
x[10]=2.411569;y[10]=7.422045;z[10]=-13.516924
x[11]=-6.781180;y[11]=4.926816;z[11]=14.518049
x[12]=-10.122691;y[12]=7.354566;z[12]=7.224
x[13]=-12.442681;y[13]=9.040137;z[13]=0
x[14]=-11.058732;y[14]=8.34639;z[14]=-7.892
x[15]=-6.243993;y[15]=4.536527;z[15]=-13.367968
x[16]=-6.627467;y[16]=-4.815137;z[16]=14.18896
x[17]=-11.571592;y[17]=-8.407254;z[17]=8.258
x[18]=-11.462152;y[18]=-8.327742; z[18]=0
x[19]=-10.758862;y[19]=-7.816772; z[19]=7.678
x[20]=-6.400942;y[20]=-4.650557; z[20]=-13.703986
x[21]=2.539502;y[21]=-7.815783; z[21]=14.233994
x[22]=4.275442;y[22]=-13.158458; z[22]=7.988
x[23]=4.552438;y[23]=-14.010924; z[23]=0
x[24]=4.478831;y[24]=-13.784424; z[24]=-8.368
x[25]=2.443088;y[25]=-7.519053; z[25]=-13.693593

文献(2)给出了结果为3.351375。用本文算法，结果为3.332523（球心坐标：-0.388737，-0.355482,-0.299896）。

参考文献：
[1]温秀兰　进化计算应用计量测试技术的理论研究东南大学博士学位论文集20040102
[2]崔长彩东仁生吓东黄庆成基于遗传算法的球度误差评定光学、精密工程2002年8月第四期第10卷

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平行度误差算例及结果分析

引用参考文献(1)中给出的第一个算例，共有空间上8个点:
X y z
459.6206,379.4207,54.0560
521.4322,415.0946,54.0276
579.8175,448.8244,54.0318
646.7175,487.4427,54.0424
702.4442,519.5981,54.0274
758.2983,551.8805,54.0263
818.3868,586.5541,54.0514
881.3558,622.8936,54.0261
基准向量：
0.866025403784438,0.5,0
文献(1)给出的平行度误差计算结果为0.0372mm（经回代验算，为0.037241mm）。用本文的方法对该算例进行计算，结果为0.037169mm（xq=-49.389236，yq=85.544655，zq=54.037426）。

[1]侯宇　三坐标测量机上平行度和垂直度的精确评定计量学报 1994.7

垂直度误差算例及结果分析

引用参考文献(1)中给出的第二个例子，算例给予出了8个三维空间的点：
X y z
730.4611,535.0238,69.7093
730.4545,535.0289,141.3579
730.4519,535.0112,209.5670
730.4601,535.0234,264.4847
730.4529,535.0329,345.7213
730.4543,535.0155,426.1628
730.4648,535.0235,491.7361
730.4539,535.0311,556.8645
基准向量：
0，0，1
原文计算得出的垂直度误差结果为0.0220mm(经回代验算，为0.021961mm）。用本文算法，结果为0.021949mm（xq=730.453918，yq=535.021973，zq=0.0）。

[1]侯宇　三坐标测量机上平行度和垂直度的精确评定计量学报 1994.7

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