笔者开发了一个“形位误差高精度电算软件包”，拙作在此展示，大家审阅，希望能得到指教、认可，让这些程序在精密检测行业找到归宿。

      软件特点：算法新、精度高，快速、易用，计算精度达到或超过现行所有同类计算软件。程序包括：

1、圆度误差计算；

2、平面度误差计算；

3、直线度误差（平面）计算；

4、空间直线度误差计算；

5、圆柱度误差计算；

6、球度误差计算；

7、平行度误差计算；

8、垂直误差度计算；

    此致！(得空您再瞧几眼兄弟我的书法作品)

                        林翔  敬启

      地址：福建省 福州市 新店 义井19# 福建商业高等专科学校 计算机系

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形状误差高精度计算分析程序算例及结果比较


一、形状误差方面
1、圆度误差算例及结果
2、平面度误差算例及结果分析
3、直线度误差（平面）算例及结果分析
4、空间直线度误差算例及结果分析
5、圆柱度误差算例及结果分析
6、球度误差算例及结果分析
二、位置误差方面
          1、平行度误差算例及结果
          2、垂直误差度算例及结果



程序开发人: 林翔
TEL：0591-88932139    E-MAIL: xl0420@163.com



圆度误差算例及结果
---------林翔
文献[1]中给出了二个算例：
其一：圆周上39个点，分别是：

x[1]=1.0249;y[1]=0.0863;
x[2]=0.9991;y[2]=0.2226;
x[3]=0.5974;y[3]=0.7736;
x[4]=0.4731;y[4]=0.8485;
x[5]=0.8803;y[5]=0.4794;
x[6]=0.8017;y[6]=0.5899;
x[7]=0.9527;y[7]=0.3551;
x[8]=0.7047;y[8]=0.6884;
x[9]=0.2101;y[9]=0.9295;
x[10]=0.0708;y[10]=0.9483;
x[11]=-0.0683;y[11]=0.9382;
x[12]=-0.8432;y[12]=0.4157;
x[13]=-0.9022;y[13]=0.2890;
x[14]=-0.9394;y[14]=0.1561;
x[15]=-0.2071;y[15]=0.9218;
x[16]=-0.3381;y[16]=0.8782;
x[17]=-0.4643;y[17]=0.8132;
x[18]=-0.5771;y[18]=0.7369;
x[19]=-0.7763;y[19]=0.5367;
x[20]=-0.6838;y[20]=-0.7485;
x[21]=-0.5795;y[21]=-0.8424;
x[22]=-0.9618;y[22]=0.0170;
x[23]=-0.9454;y[23]=-0.2605;
x[24]=-0.9077;y[24]=-0.3956;
x[25]=-0.8443;y[25]=-0.5203;
x[26]=-0.7764;y[26]=-0.6394;
x[27]=-0.4635;y[27]=-0.9195;
x[28]=0.4736;y[28]=-0.9507;
x[29]=0.5942;y[29]=-0.8781;
x[30]=-0.2059;y[30]=-1.0269;
x[31]=0.9950;y[31]=-0.3272;
x[32]=1.0218;y[32]=-0.1921;
x[33]=-0.0686;y[33]=-1.0512;
x[34]=0.0710;y[34]=-1.0568;
x[35]=0.2087;y[35]=-1.0377;
x[36]=0.3445;y[36]=-1.0078;
x[37]=0.7082;y[37]=-0.7982;
x[38]=0.8873;y[38]=-0.5832;
x[39]=0.9510;y[39]=-0.4578;

文献引用多种算法获得的若干个圆度误差值，其中最小者为8.5ηm。用本人开发的程序对该算例进行计算，结果为8.537411ηm（圆心：35.614986，-52.929476）。
其二：圆周上100个点：

x[1]=0.57057;y[1]=-0.95024;
x[2]=1.56665;y[2]=0.42132;
x[3]=1.01913;y[3]=0.14749;
x[4]=0.9179;y[4]=-0.83853;
x[5]=-0.24959;y[5]=1.73905;
x[6]=-0.0585;y[6]=1.65447;
x[7]=1.95744;y[7]=0.07152;
x[8]=-0.63876;y[8]=1.12818;
x[9]=-1.59509;y[9]=0.84536;
x[10]=1.42092;y[10]=0.53183;
x[11]=-1.03427;y[11]=-0.46699;
x[12]=0.4236;y[12]=1.39442;
x[13]=-1.09673;y[13]=-1.31727;
x[14]=-1.60962;y[14]=-1.0501;
x[15]=0.00792;y[15]=-1.06191;
x[16]=1.30986;y[16]=1.02512;
x[17]=-0.92376;y[17]=1.02512;
x[18]=-1.1727;y[18]=-0.12527;
x[19]=-1.08129;y[19]=-0.28216;
x[20]=-1.47503;y[20]=-0.15113;
x[21]=0.29;y[21]=1.0206;
x[22]=0.26104;y[22]=-1.68673;
x[23]=-0.92848;y[23]=-0.39273;
x[24]=0.03578;y[24]=-1.62692;
x[25]=1.6635;y[25]=0.00824;
x[26]=0.12293;y[26]=-1.00482;
x[27]=1.48703;y[27]=1.08665;
x[28]=-0.35551;y[28]=0.96017;
x[29]=-1.21984;y[29]=0.12886;
x[30]=0.56851;y[30]=-1.72432;
x[31]=-0.1237;y[31]=1.43138;
x[32]=-0.15604;y[32]=1.01881;
x[33]=-0.96311;y[33]=-0.3251;
x[34]=-0.34527;y[34]=-1.10683;
x[35]=-0.55921;y[35]=1.33519;
x[36]=-0.63695;y[36]=1.86756;
x[37]=1.1901;y[37]=-1.32348;
x[38]=-0.96685;y[38]=-1.17529;
x[39]=-0.74928;y[39]=-1.03968;
x[40]=-1.60008;y[40]=0.65249;
x[41]=0.80483;y[41]=-1.14324;
x[42]=-1.10193;y[42]=-0.07063;
x[43]=-0.70269;y[43]=-0.77591;
x[44]=-0.75973;y[44]=-0.95673;
x[45]=1.50261;y[45]=0.03128;
x[46]=-0.59504;y[46]=-1.29475;
x[47]=-0.13981;y[47]=1.17729;
x[48]=-1.44834;y[48]=-0.42819;
x[49]=-1.44198;y[49]=-0.59224;
x[50]=1.27889;y[50]=-0.81302;
x[51]=0.93272;y[51]=1.04136;
x[52]=-1.66035;y[52]=-0.75754;
x[53]=1.43687;y[53]=0.09947;
x[54]=0.56329;y[54]=-1.05384;
x[55]=0.96458;y[55]=1.22851;
x[56]=0.46196;y[56]=0.97179;
x[57]=1.09856;y[57]=0.14624;
x[58]=0.98879;y[58]=0.82127;
x[59]=-0.5729;y[59]=-1.8727;
x[60]=-1.10514;y[60]=-0.65124;
x[61]=1.40111;y[61]=1.14802;
x[62]=1.44491;y[62]=0.47765;
x[63]=0.41698;y[63]=0.93033;
x[64]=0.88468;y[64]=-0.85463;
x[65]=-0.26884;y[65]=-1.07328;
x[66]=1.0129;y[66]=-0.39874;
x[67]=-1.33422;y[67]=0.16749;
x[68]=-0.58673;y[68]=-1.43237;
x[69]=-1.04105;y[69]=-1.32056;
x[70]=-0.78897;y[70]=-1.08234;
x[71]=-0.02463;y[71]=1.90053;
x[72]=0.7139;y[72]=0.79895;
x[73]=-0.43885;y[73]=-1.13834;
x[74]=-0.4092;y[74]=-1.60155;
x[75]=1.34935;y[75]=-0.14736;
x[76]=-0.48152;y[76]=-1.29893;
x[77]=-0.62689;y[77]=-1.25215;
x[78]=-1.26367;y[78]=-0.93106;
x[79]=-0.95839;y[79]=-0.6098;
x[80]=-0.8003;y[80]=-1.43963;
x[81]=-0.1384;y[81]=1.36136;
x[82]=1.27357;y[82]=0.44949;
x[83]=-0.61582;y[83]=0.9840;
x[84]=0.12755;y[84]=-1.44632;
x[85]=-0.77293;y[85]=0.65179;
x[86]=0.40132;y[86]=-1.23348;
x[87]=0.56658;y[87]=-1.57567;
x[88]=-0.60135;y[88]=-1.12506;
x[89]=1.4585;y[89]=-0.36716;
x[90]=-1.33368;y[90]=0.31742;
x[91]=-0.75031;y[91]=-1.03356;
x[92]=-1.40787;y[92]=0.53895;
x[93]=-1.71498;y[93]=0.36219;
x[94]=-0.33964;y[94]=-1.63037;
x[95]=-1.56297;y[95]=0.30197;
x[96]=-0.09198;y[96]=-1.03831;
x[97]=0.46082;y[97]=1.50514;
x[98]=1.63667;y[98]=-0.58851;
x[99]=1.7043;y[99]=-0.12403;
x[100]=-0.51619;y[100]=0.91414;
文献也引用多种算法获得的若干个圆度误差值，其中最小者为957.35ηm。用本人的算法对该算例进行计算，结果为957.3539495ηm（圆心：5.355403，7.880763）。

文献[2] 给出的算例，圆周上有12个样本点：

x[1]=50.050;y[1]=0;
x[2]=43.309;y[2]=25.004;
x[3]=25.000;y[3]=43.311;
x[4]=0.006;y[4]=50.000;
x[5]=-25.009;y[5]=43.318;
x[6]=-43.301;y[6]=25.006;
x[7]=-50.00;y[7]=0.001;
x[8]=-43.327;y[8]=-25.014;
x[9]=-25.001;y[9]=-43.301;
x[10]=-0.001;y[10]=-50.0;
x[11]=25.01;y[11]=-43.336;
x[12]=43.301;y[12]=-25.002;

该文作者在多篇文章中用不同的算法对该例进行计算，所得圆度误差都高于46μm；用本人的算法进行计算，得出的圆度误差为45.375824μm（圆心：9.73345，5.10839）。

文献[3] 给出的算例,20个样本点：

x[1]=49.9996;
x[2]=47.5512;
x[3]=40.4510;
x[4]=29.3894;
x[5]=15.4505;
x[6]=0.0000;
x[7]=-15.4512;
x[8]=-29.3892;
x[9]=-40.4511;
x[10]=-47.5530;
y[1]=0.0000;
y[2]=15.4503;
y[3]=29.3893;
y[4]=40.4511;
y[5]=47.5517;
y[6]=50.0012;
y[7]=47.5540;
y[8]=40.4508;
y[9]=29.3895;
y[10]=15.4509;
x[11]=-49.9998;
x[12]=-47.5535;
x[13]=-40.4504;
x[14]=-29.3905;
x[15]=-15.4508;
x[16]=-0.0000;
x[17]=15.4512;
x[18]=29.3893;
x[19]=40.4508;
x[20]=47.5520;
y[11]=0.0000;
y[12]=-15.4511;
y[13]=-29.3889;
y[14]=-40.4526;
y[15]=-47.5527;
y[16]=-50.0001;
y[17]=-47.5538;
y[18]=-40.4509;
y[19]=-29.3892;
y[20]=-15.4506;

以该文指明的“MATLAB”中方法（三坐标测量仪所用算法）计算，圆度误差为2.9μm；用本法计算，误差为2.735138μm（圆心：-0.000458744，-0.000370574）。

文献[4] 给出的4个算例,分别有24、12、12、12个样本点，详列出如下：
（例1）pai=3.1415926
x[1]=20.0224;y[1]=0.0;
x[2]=20.0194*cos(15.0*pai/180);y[2]=20.0194*sin(15.0*pai/180);
x[3]=20.0113*cos(30.0*pai/180);y[3]=20.0113*sin(30.0*pai/180);
x[4]=20.008*cos(45.0*pai/180);y[4]=20.008*sin(45.0*pai/180);
x[5]=20.0084*cos(60.0*pai/180);y[5]=20.0084*sin(60.0*pai/180);
x[6]=20.0043*cos(75.0*pai/180);y[6]=20.0043*sin(75.0*pai/180);
x[7]=20.0055*cos(90.0*pai/180);y[7]=20.0055*sin(90.0*pai/180);
x[8]=20.0099*cos(105.0*pai/180);y[8]=20.0099*sin(105.0*pai/180);
x[9]=20.0151*cos(120.0*pai/180);y[9]=20.0151*sin(120.0*pai/180);
x[10]=20.020*cos(135.0*pai/180);y[10]=20.020*sin(135.0*pai/180);
x[11]=20.0294*cos(150.0*pai/180);y[11]=20.0294*sin(150.0*pai/180);
x[12]=20.036*cos(165.0*pai/180);y[12]=20.036*sin(165.0*pai/180);
x[13]=20.0309*cos(180*pai/180);y[13]=20.0309*sin(180*pai/180);
x[14]=20.0159*cos(195.0*pai/180);y[14]=20.0159*sin(195.0*pai/180);
x[15]=20.0070*cos(210.0*pai/180);y[15]=20.0070*sin(210.0*pai/180);
x[16]=20.0123*cos(225.0*pai/180);y[16]=20.0123*sin(225.0*pai/180);
x[17]=20.0049*cos(240.0*pai/180);y[17]=20.0049*sin(240.0*pai/180);
x[18]=20.00*cos(255.0*pai/180);y[18]=20.00*sin(255.0*pai/180);
x[19]=20.0038*cos(270.0*pai/180);y[19]=20.0038*sin(270.0*pai/180);
x[20]=20.0104*cos(285.0*pai/180);y[20]=20.0104*sin(285.0*pai/180);
x[21]=20.0202*cos(300.0*pai/180);y[21]=20.0202*sin(300.0*pai/180);
x[22]=20.0283*cos(315.0*pai/180);y[22]=20.0283*sin(315.0*pai/180);
x[23]=20.0299*cos(330.0*pai/180);y[23]=20.0299*sin(330.0*pai/180);
x[24]=20.0283*cos(345.0*pai/180);y[24]=20.0283*sin(345.0*pai/180);
(例2)pa=3.1415926;
x[1]=20.0073;y[1]=0.0;
x[2]=20.0083*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=20.0083*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=20.017*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=20.017*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=20.0209*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=20.0209*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=20.015*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=20.015*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=20.0065*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=20.0065*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=20.00*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=20.00*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=20.0096*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=20.0096*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=20.0232*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=20.0232*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=20.0167*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=20.0167*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=20.0148*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=20.0148*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=20.0031*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=20.0031*sin(330.0*pa/180.0);
（例3）pa=3.1415926;
x[1]=20.0051;y[1]=0.0;
x[2]=(20.0-0.002)*cos(30.0*pa/180);y[2]=(20.0-0.002)*sin(30.0*pa/180);
x[3]=(20.0-0.00384)*cos(60.0*pa/180);y[3]=(20.0-0.00384)*sin(60.0*pa/180);
x[4]=(20.0-0.0039)*cos(90.0*pa/180);y[4]=(20.0-0.0039)*sin(90.0*pa/180);
x[5]=20.00374*cos(120.0*pa/180);y[5]=20.00374*sin(120.0*pa/180);
x[6]=20.00297*cos(150.0*pa/180);y[6]=20.00297*sin(150.0*pa/180);
x[7]=(20.0-0.00075)*cos(180*pa/180);y[7]=(20.0-0.00075)*sin(180*pa/180);
x[8]=20.00075*cos(210.0*pa/180);y[8]=20.00075*sin(210.0*pa/180);
x[9]=(20.0-0.00061)*cos(240.0*pa/180);y[9]=(20.0-0.00061)*sin(240.0*pa/180);
x[10]=(20.0-0.00335)*cos(270.0*pa/180);y[10]=(20.0-0.00335)*sin(270.0*pa/180);
x[11]=(20.0-0.00259)*cos(300.0*pa/180);y[11]=(20.0-0.00259)*sin(300.0*pa/180);
x[12]=20.00448*cos(330.0*pa/180);y[12]=20.00448*sin(330.0*pa/180);
（例4）pa=3.1415926;
x[1]=10.006;y[1]=0.0;
x[2]=10.007*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=10.007*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=10.005*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=10.005*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=10.0035*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=10.0035*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=10.005*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=10.005*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=10.0075*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=10.0075*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=10.0045*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=10.0045*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=10.0065*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=10.0065*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=10.007*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=10.007*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=10.0045*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=10.0045*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=10.0065*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=10.0065*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=10.0065*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=10.0065*sin(330.0*pa/180.0);
该文中列出的圆度误差分别是为31.1μm、21.2μm、8.2μm、3.5μm；用本法计算，误差分别为
31.03065μm（圆心：-0.0021672，-0.0028065）、
21.22307μm（圆心：0.00124228，-0.00156466）、
8.2340μm（圆心：0.00065420，-0.00043796）、
3.499985μm（圆心：-0.000289033，-0.000500202）。

文献[5] 给出的算例,有12个样本点：pa=3.1415926;
x[1]=50.006;y[1]=0.0;
x[2]=50.007*cos(30.0*pa/180.0);y[2]=50.007*sin(30.0*pa/180.0);
x[3]=50.005*cos(60.0*pa/180.0);y[3]=50.005*sin(60.0*pa/180.0);
x[4]=50.0035*cos(90.0*pa/180.0);y[4]=50.0035*sin(90.0*pa/180.0);
x[5]=50.005*cos(120.0*pa/180.0);y[5]=50.005*sin(120.0*pa/180.0);
x[6]=50.0075*cos(150.0*pa/180.0);y[6]=50.0075*sin(150.0*pa/180.0);
x[7]=50.0045*cos(180.0*pa/180.0);y[7]=50.0045*sin(180.0*pa/180.0);
x[8]=50.0065*cos(210.0*pa/180.0);y[8]=50.0065*sin(210.0*pa/180.0);
x[9]=50.007*cos(240.0*pa/180.0);y[9]=50.007*sin(240.0*pa/180.0);
x[10]=50.0045*cos(270.0*pa/180.0);y[10]=50.0045*sin(270.0*pa/180.0);
x[11]=50.0065*cos(300.0*pa/180.0);y[11]=50.0065*sin(300.0*pa/180.0);
x[12]=50.0065*cos(330.0*pa/180.0);y[12]=50.0065*sin(330.0*pa/180.0);
以该文列出的圆度误差最佳结果为3.573μm；用本法计算得出的圆度误差为3.498077μm（圆心：-0.000287956，-0.000499725）。

文献[6] 给出二个的算例,都是12个样本点：
（例1）pa=3.1415926;
x[1]=20.0051;y[1]=0.0;
x[2]=(20.0-0.002)*cos(30.0*pa/180);y[2]=(20.0-0.002)*sin(30.0*pa/180);
x[3]=(20.0-0.00384)*cos(60.0*pa/180);y[3]=(20.0-0.00384)*sin(60.0*pa/180);
x[4]=(20.0-0.0039)*cos(90.0*pa/180);y[4]=(20.0-0.0039)*sin(90.0*pa/180);
x[5]=20.00374*cos(120.0*pa/180);y[5]=20.00374*sin(120.0*pa/180);
x[6]=20.00297*cos(150.0*pa/180);y[6]=20.00297*sin(150.0*pa/180);
x[7]=(20.0-0.00075)*cos(180*pa/180);y[7]=(20.0-0.00075)*sin(180*pa/180);
x[8]=20.00075*cos(210.0*pa/180);y[8]=20.00075*sin(210.0*pa/180);
x[9]=(20.0-0.00061)*cos(240.0*pa/180);y[9]=(20.0-0.00061)*sin(240.0*pa/180);
x[10]=(20.0-0.00335)*cos(270.0*pa/180);y[10]=(20.0-0.00335)*sin(270.0*pa/180);
x[11]=(20.0-0.00259)*cos(300.0*pa/180);y[11]=(20.0-0.00259)*sin(300.0*pa/180);
x[12]=20.00448*cos(330.0*pa/180);y[12]=20.00448*sin(330.0*pa/180);
（例2）pa=3.1415926;
x[1]=10.006;y[1]=0.0;
x[2]=10.007*cos(30.0*pa/180);y[2]=10.007*sin(30.0*pa/180);
x[3]=10.005*cos(60.0*pa/180);y[3]=10.005*sin(60.0*pa/180);
x[4]=10.0035*cos(90.0*pa/180);y[4]=10.0035*sin(90.0*pa/180);
x[5]=10.005*cos(120.0*pa/180);y[5]=10.005*sin(120.0*pa/180);
x[6]=10.0075*cos(150.0*pa/180);y[6]=10.0075*sin(150.0*pa/180);
x[7]=10.0045*cos(180*pa/180);y[7]=10.0045*sin(180*pa/180);
x[8]=10.0065*cos(210.0*pa/180);y[8]=10.0065*sin(210.0*pa/180);
x[9]=10.007*cos(240.0*pa/180);y[9]=10.007*sin(240.0*pa/180);
x[10]=10.0045*cos(270.0*pa/180);y[10]=10.0045*sin(270.0*pa/180);
x[11]=10.0065*cos(300.0*pa/180);y[11]=10.0065*sin(300.0*pa/180);
x[12]=10.0065*cos(330.0*pa/180);y[12]=10.0065*sin(330.0*pa/180);
以该文所用的最小区域法算出的圆度误差最佳结果,分别为31.1μm、21.2μm；用本法计算得出的圆度误差分别31.0306μm（圆心：-0.00216677，0.00280622）、21.2231μm（圆心：0.00124228，-0.00156466）。

参考文献：
[1] 温秀兰 进化计算应用于计量测试技术的理论研究东南大学博士论文 2004.1.2
[2] 廖平 基于遗传算法的形状误差计算研究  中南大学博士论文 2002.11.1
        基于分割逼近法的圆度误差计算  计量与测试被术•1999•№ 5
            基于遗传算法的圆的半径测量  计量学报2001年4月第22卷第2期
[3] 周剑平 基于MATLAB的圆度评定方法  计量与测试技术 2005年32卷第2期
[4] 丁和  一种图解圆度误差的方法  计量技术 1997．№ 3
[5] 沈先钊 圆度、圆柱度和同轴度计算机测量数据最小区域法处理算法研究  中国机械工程第14卷第17期2003年9月上半月
[6] 黄蔚远. 圆度误差最小区域法  计量技术 1989.10


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平面度误差算例及结果分析
-------林翔
引用文献(1) 给出的算例，该例有25个样本点：x坐标=5@2500； y坐标=5@2500；

z[1]=0;
z[2]=3.242;
z[3]=6.983;
z[4]=9.725;
z[5]=7.967;
z[6]=-0.058;
z[7]=7.121;
z[8]=6.096;
z[9]=8.495;
z[10]=8.875;
z[11]=4.283;
z[12]=3.733;
z[13]=8.601;
z[14]=4.933;
z[15]=4.383;
z[16]=4.925;
z[17]=7.015;
z[18]=6.121;
z[19]=4.724;
z[20]=3.192;
z[21]=7.967;
z[22]=6.1;
z[23]=5.233;
z[24]=3.367;
z[25]=0;

借助LabVIEW软件用快速逼近法实现平面度误差（最小区域法）评定，计算出的平面度误差为8.971μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为8.9715719μm（基准平面方程的各参数:a=-0.000010，b=0.000010，c=1）,两者基本一致。

引用文献(2) 给出的第二个算例，该例有36个样本点：

z[1]=32.4;
z[2]=25.6;
z[3]=13.6;
z[4]=5.6;
z[5]=-2.8;
z[6]=-4.0;
z[7]=5.6;
z[8]=21.6;
z[9]=29.6;
z[10]=34.8;
z[11]=34;
z[12]=33.6;
z[13]=47.2;
z[14]=37.2;
z[15]=22.8;
z[16]=12;
z[17]=3.2;
z[18]=1.2;
z[19]=13.2;
z[20]=32;
z[21]=43.2;
z[22]=51.2;
z[23]=52;
z[24]=51.2;
z[25]=56.4;
z[26]=42.8;
z[27]=24.8;
z[28]=11.2;
z[29]=1.6;
z[30]=0;
z[31]=15.6;
z[32]=36.8;
z[33]=51.2;
z[34]=61.6;
z[35]=63.6;
z[36]=62;

（pai=3.1415926;）

x[1]=3*cos(0.0/180*pai);
x[2]=3*cos(30.0/180*pai);
x[3]=3*cos(60.0/180*pai);
x[4]=3*cos(90.0/180*pai);
x[5]=-3*cos(60/180*pai);
x[6]=-3*cos(30.0/180*pai);
x[7]=-3*cos(0/180*pai);
x[8]=-3*cos(30.0/180*pai);
x[9]=-3*cos(60.0/180*pai);
x[10]=3*cos(90.0/180*pai);
x[11]=3*cos(60.0/180*pai);
x[12]=3*cos(30.0/180*pai);
x[13]=5*cos(0.0/180*pai);
x[14]=5*cos(30.0/180*pai);
x[15]=5*cos(60.0/180*pai);
x[16]=5*cos(90.0/180*pai);
x[17]=-5*cos(60.0/180*pai);
x[18]=-5*cos(30.0/180*pai);
x[19]=-5*cos(0.0/180*pai);
x[20]=-5*cos(30.0/180*pai);
x[21]=-5*cos(60.0/180*pai);
x[22]=5*cos(90.0/180*pai);
x[23]=5*cos(60.0/180*pai);
x[24]=5*cos(30.0/180*pai);
x[25]=7*cos(0.0/180*pai);
x[26]=7*cos(30.0/180*pai);
x[27]=7*cos(60.0/180*pai);
x[28]=7*cos(90.0/180*pai);
x[29]=-7*cos(60.0/180*pai);
x[30]=-7*cos(30.0/180*pai);
x[31]=-7*cos(0.0/180*pai);
x[32]=-7*cos(30.0/180*pai);
x[33]=-7*cos(60.0/180*pai);
x[34]=-7*cos(90.0/180*pai);
x[35]=7*cos(60.0/180*pai);
x[36]=7*cos(30.0/180*pai);
y[1]=3*sin(0.0/180*pai);
y[2]=3*sin(30.0/180*pai);
y[3]=3*sin(60.0/180*pai);
y[4]=3*sin(90.0/180*pai);
y[5]=3*sin(60.0/180*pai);
y[6]=3*sin(30.0/180*pai);
y[7]=3*sin(0.0/180*pai);
y[8]=-3*sin(30.0/180*pai);
y[9]=-3*sin(60.0/180*pai);
y[10]=-3*sin(90.0/180*pai);
y[11]=-3*sin(60.0/180*pai);
y[12]=-3*sin(30.0/180*pai);
y[13]=5*sin(0.0/180*pai);
y[14]=5*sin(30.0/180*pai);
y[15]=5*sin(60.0/180*pai);
y[16]=5*sin(90.0/180*pai);
y[17]=5*sin(60.0/180*pai);
y[18]=5*sin(30.0/180*pai);
y[19]=5*sin(0.0/180*pai);
y[20]=-5*sin(30.0/180*pai);
y[21]=-5*sin(60.0/180*pai);
y[22]=-5*sin(90.0/180*pai);
y[23]=-5*sin(60.0/180*pai);
y[24]=-5*sin(30.0/180*pai);
y[25]=7*sin(0.0/180*pai);
y[26]=7*sin(30.0/180*pai);
y[27]=7*sin(60.0/180*pai);
y[28]=7*sin(90.0/180*pai);
y[29]=7*sin(60.0/180*pai);
y[30]=7*sin(30.0/180*pai);
y[31]=7*sin(0.0/180*pai);
y[32]=-7*sin(30.0/180*pai);
y[33]=-7*sin(60.0/180*pai);
y[34]=-7*sin(90.0/180*pai);
y[35]=-7*sin(60.0/180*pai);
y[36]=-7*sin(30.0/180*pai);

其计算出的平面度误差为30.25μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为30.246612μm（a=-0.0290181，b=0.041135，c=1，d=-26.273592），两者也基本一致。

引用参考文献(3) 给出的算例，该例有40个样本点：x坐标=5@2000； y坐标=8@4000；

z[1]=-0.21;
z[2]=-0.25;
z[3]=0.07;
z[4]=0.21;
z[5]=0.53;
z[6]=-0.25;
z[7]=-0.05;
z[8]=-0.14;
z[9]=0.15;
z[10]=0.33;
z[11]=0.06;
z[12]=0.13;
z[13]=0.11;
z[14]=0.25;
z[15]=0.23;
z[16]=0.11;
z[17]=-0.08;
z[18]=-0.14;
z[19]=0.07;
z[20]=0.22;
z[21]=0.23;
z[22]=0.19;
z[23]=0.03;
z[24]=0.03;
z[25]=0.17;
z[26]=0.19;
z[27]=0.10;
z[28]=0.08;
z[29]=0.13;
z[30]=0.2;
z[31]=0.22;
z[32]=0.15;
z[33]=0.12;
z[34]=0.09;
z[35]=0.25;
z[36]=0.2;
z[37]=0.04;
z[38]=0.35;
z[39]=0.27;
z[40]=0.18;

使用遗传基因算法，计算出的平面度误差为0.538964μm；用本算法进行计算，平面度误差为0.52875μm（a=-0.000042、b=-0.000002、c=1）。

参考文献(4)中给出了一个算例，它是实际测得的一个平面上的25个点的坐标：x坐标=5@100000； y坐标=5@100000；

z[1]=10.71;
z[2]= 4.30 ;
z[3]=-2.69;
z[4]=-8.67;
z[5]=-13.63;
z[6]=8.81;
z[7]=1.90;
z[8]=-5.00;
z[9]=-11.01;
z[10]=-16.19;
z[11]=6.31;
z[12]=-0.82;
z[13]=-7.77;
z[14]=-14.03;
z[15]=-19.10;
z[16]=4.01;
z[17]=-3.17;
z[18]=-10.22;
z[19]=-16.65;
z[20]=-21.86;
z[21]=1.91;
z[22]=-5.24;
z[23]=-12.29;
z[24]=-18.53;
z[25]=-24.09;

文献(4)给出了通过广为人知的软件Matlab进行平面度误差的计算法，得到的平面度误差值为2.0268μm。用本算法求得的平面度误差为1.90999996μm（a=0.000064、b=0.000025、c=1.0）。

引用文献(5) 给出的算例，该例有48个样本点：x坐标=6@200000； y坐标=8@200000；

z[1]=-0.5;
z[2]=-0.5;
z[3]=-1.0;
z[4]=-0.5;
z[5]=-1.5;
z[6]=-3.0;
z[7]=-2.0;
z[8]=-1.5;
z[9]=0;
z[10]=0;
z[11]=-0.5;
z[12]=-1;
z[13]=-2.2;
z[14]=-5.5;
z[15]=-5;
z[16]=-5.2;
z[17]=0;
z[18]=0;
z[19]=0;
z[20]=-0.5;
z[21]=-1;
z[22]=-1.5;
z[23]=-1;
z[24]=-1;
z[25]=-0.5;
z[26]=0.5;
z[27]=0.5;
z[28]=0;
z[29]=0.5;
z[30]=-1;
z[31]=-0.5;
z[32]=-0.5;
z[33]=0;
z[34]=1;
z[35]=1;
z[36]=0;
z[37]=0;
z[38]=0;
z[39]=0;
z[40]=0;
z[41]=0.5;
z[42]=1;
z[43]=1.5;
z[44]=0.5;
z[45]=0.5;
z[46]=-0.5;
z[47]=-0.5;
z[48]=0;

以该文之算法计算出的直线度误差为12μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为9.951575μm（a=0.001425，b=-0.001908，c=1）。

引用文献(6) 给出的算例，该例有25个样本点：x坐标=5@95000； y坐标=5@153000；

z[1]=0.0;
z[2]=0.63;
z[3]=-0.27;
z[4]=-2.7;
z[5]=-3.6;
z[6]=1.95;
z[7]=-1.8;
z[8]=-0.94;
z[9]=-1.80;
z[10]=-1.75;
z[11]=1.05;
z[12]=-0.96;
z[13]=-1.8;
z[14]=-1.91;
z[15]=-0.85;
z[16]=-1.75;
z[17]=-5.4;
z[18]=-2.27;
z[19]=0.0;
z[20]=0.05;
z[21]=-3.6;
z[22]=-3.08;
z[23]=-1.04;
z[24]=1.01;
z[25]=0.0;

其计算出的平面度误差为7.35μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为6.5799999237μm（a=0.000005，b=-0.000001，c=1）。

引用文献(7) 给出的第3个算例，该例有70个样本点：x坐标=7@10000； y坐标=10@10000；

z[1]=0;
z[2]=-7.38;
z[3]=-14.66;
z[4]=-21.10;
z[5]=-26.53;
z[6]=-31.24;
z[7]=-35.87;
z[8]=-39.24;
z[9]=-24.08;
z[10]=-43.93;
z[11]=0.8;
z[12]=-6.65;
z[13]=-13.93;
z[14]=-20.56;
z[15]=-26.03;
z[16]=-31.11;
z[17]=-35.53;
z[18]=-39.16;
z[19]=-41.96;
z[20]=-43.41;
z[21]=1.91;
z[22]=-5.24;
z[23]=-12.29;
z[24]=-18.53;
z[25]=-24.09;
z[26]=-28.91;
z[27]=-33.22;
z[28]=-37.05;
z[29]=-39.99;
z[30]=-41.96;
z[31]=4.01;
z[32]=-3.17;
z[33]=-10.22;
z[34]=-16.65;
z[35]=-21.86;
z[36]=-26.55;
z[37]=-30.64;
z[38]=-34.52;
z[39]=-37.59;
z[40]=-39.62;
z[41]=6.31;
z[42]=-0.82;
z[43]=-7.77;
z[44]=-14.03;
z[45]=-19.10;
z[46]=-23.86;
z[47]=-27.90;
z[48]=-31.66;
z[49]=-34.67;
z[50]=-37.13;
z[51]=8.81;
z[52]=1.9;
z[53]=-5.0;
z[54]=-11.01;
z[55]=-16.19;
z[56]=-20.7;
z[57]=-24.5;
z[58]=-28.11;
z[59]=-30.99;
z[60]=-33.68;
z[61]=10.71;
z[62]=4.2;
z[63]=-2.69;
z[64]=-8.67;
z[65]=-13.63;
z[66]=-18.26;
z[67]=-22.04;
z[68]=-25.43;
z[69]=-28.58;
z[70]=-31.71;

用其“有序判别法”计算出的平面度误差为6.55μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为6.54999971μm（a=-0.000001，b=-0.000002，c=1）。
引用文献(8) 给出的表3算例，该例有25个样本点：x坐标=5@10000； y坐标=5@10000；

z[1]=0;
z[2]=0.008;
z[3]=0.013;
z[4]=0.010;
z[5]=0.010;
z[6]=0.005;
z[7]=0.002;
z[8]=0.008;
z[9]=0.009;
z[10]=0.009;
z[11]=0.005;
z[12]=0.006;
z[13]=0.006;
z[14]=0.007;
z[15]=0.011;
z[16]=0.003;
z[17]=0.003;
z[18]=0.005;
z[19]=0.009;
z[20]=0.009;
z[21]=0.003;
z[22]=0.010;
z[23]=0.005;
z[24]=0.009;
z[25]=0.009;

用POWELL法计算出的平面度误差为8.5μm；用本算法进行计算，得出的平面度误差为8.49999531μm（a=-0.000233，b=0.000017，c=1）。


参考文献：
（1）            杨碧仪, 黄镇昌  由虚拟仪器LabVIEW实现最小区域法评定平面度误差 现代制造工程2004(12)
（2）            吕震宇  一种使用最小包容区域法基于旋转变换求解平面度误差的方法 河北理工学院学报 2OOO年2月第22卷第l期
（3）            王萍,谢驰,廖世鹏  小零件平面度误差测量的一种新方法  工具技术2004 年第38 卷E6
（4）            史立新，朱思洪  基于Matlab的平面度误差最小区域法评定组合机床与自动化加工技术2005 年第9 期
（5）            沈兴东，李富来  平面度最小区域法在铸铁平板检测中的应用 天津职业大学学报2003年10月第12卷第5期
（6）            宫美望  平面度测量中采样点数据的归一处理  工业计量2003年第6期
（7）            张之江，于瀛洁，张善钟  平面度误差最小区域新算法——有序判别法 计量学报 1998年 第19卷 第1期
（8）  形状误差的优化算法    彭祖行  计量学报  1992.10


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直线度误差（平面）算例及结果分析
----------林翔
文献[1] 给出了二个算例:
算例1：有15个样本点：

x[1]=0.3952;y[1]=-0.0032;
x[2]=0.6953;y[2]=-0.0016;
x[3]=0.9669;y[3]=-0.0042;
x[4]=1.2762;y[4]=-0.0028;
x[5]=1.5797;y[5]=-0.0037;
x[6]=1.8593;y[6]=-0.0007;
x[7]=2.1333;y[7]=-0.0010;
x[8]=2.4197;y[8]=0.0007;
x[9]=2.6001;y[9]=0.0007;
x[10]=2.8590;y[10]=0.0017;
x[11]=3.0662;y[11]=0.0025;
x[12]=3.2165;y[12]=-0.0017
x[13]=3.4217;y[13]=0.0026;
x[14]=3.6179;y[14]=0.0027;
x[15]=3.8185;y[15]=0.0047;

该文引用了多种方法计算的直线度误差，最小者为5.1856μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为5.185658112μm（平面基准直线的斜率k=0.002017)。

算例2：有25个样本点：

x[1]=0.2845;y[1]=-0.0034;
x[2]=0.6600;y[2]=-0.0032;
x[3]=1.2041;y[3]=-0.0030;
x[4]=1.4994;y[4]=-0.0035;
x[5]=1.8494;y[5]=-0.0036;
x[6]=2.2261;y[6]=-0.0025;
x[7]=2.5724;y[7]=-0.0028;
x[8]=2.9076;y[8]=-0.0026;
x[9]=3.2548;y[9]=-0.0031;
x[10]=3.4142;y[10]=-0.0031;
x[11]=3.6307;y[11]=-0.0029;
x[12]=3.9237;y[12]=-0.0029;
x[13]=4.2647;y[13]=-0.0028;
x[14]=4.5122;y[14]=-0.0028;
x[15]=4.8150;y[15]=-0.0027;
x[16]=5.1334;y[16]=-0.0027;
x[17]=5.3603;y[17]=-0.0030;
x[18]=5.6534;y[18]=-0.0032;
x[19]=5.9058;y[19]=-0.0020;
x[20]=6.0774;y[20]=-0.0019;
x[21]=6.2962;y[21]=-0.0019;
x[22]=6.5240;y[22]=-0.0019;
x[23]=6.7114;y[23]=-0.0017;
x[24]=6.9996;y[24]=-0.0019;
x[25]=7.2076;y[25]=-0.0017;

该文同样引用了多种方法计算的直线度误差，最小者为1.311μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为1.3112946μm（k=0.000178)。

文献[2] 给出的算例,有8个样本点：

x[1]=0;y[1]=0;
x[2]=100;y[2]=20.113;
x[3]=200;y[3]=40.151;
x[4]=300;y[4]=60.005;
x[5]=400;y[5]=80.017;
x[6]=500;y[6]=100.106;
x[7]=600;y[7]=120.101;
x[8]=700;y[8]=140.112;

以该文使用的方法计算的直线度误差,为145μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为144.7988749μm（k=0.200017)。
文献[3] 给出的算例,有7个样本点：

x[1]=100;y[1]=0.0;
x[2]=200;y[2]=-5;
x[3]=300;y[3]=-7;
x[4]=400;y[4]=-6;
x[5]=500;y[5]=-9;
x[6]=600;y[6]=-3;
x[7]=700;y[7]=-6;

该文使用“LINGO”计算的直线度误差为6.6μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为6.5998812μm（k=-0.00600)。
文献[4] 给出的算例,有15个样本点：

x[1]=100000;
y[1]=0;
x[2]=200000;
y[2]=5.5;
x[3]=300000;
y[3]=2;
x[4]=400000;
y[4]=0.5;
x[5]=500000;
y[5]=0.5;
x[6]=600000;
y[6]=-0.5;
x[7]=700000;
y[7]=-1.5;
x[8]=800000;
y[8]=0;
x[9]=900000;
y[9]=7;
x[10]=1000000;
y[10]=11;
x[11]=1100000;
y[11]=9;
x[12]=1200000;
y[12]=8.5;
x[13]=1300000;
y[13]=14;
x[14]=1400000;
y[14]=17;
x[15]=1500000;
y[15]=15;

该文计算的直线度误差为11.7917μm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为11.79166985μm（k=0.000010)。

文献[5] 给出的算例,有20个样本点：

x[1]=0.0;y[1]=0.0;
x[2]=200.0;y[2]=0.001;
x[3]=400.0;y[3]=0.019;
x[4]=600.0;y[4]=0.016;
x[5]=800.0;y[5]=0.014;
x[6]=50;y[6]=0;
x[7]=250;y[7]=0.008;
x[8]=450;y[8]=0.017;
x[9]=650;y[9]=0.015;
x[10]=850;y[10]=0.013;
x[11]=100.0;y[11]=-0.001;
x[12]=300;y[12]=0.013;
x[13]=500;y[13]=0.017;
x[14]=700;y[14]=0.013;
x[15]=900;y[15]=0.015;
x[16]=150;y[16]=-0.003;
x[17]=350;y[17]=0.015;
x[18]=550;y[18]=0.014;
x[19]=750;y[19]=0.012;
x[20]=950;y[20]=0.017;
该文计算的直线度误差为0.01628571mm；用本算法进行计算，得出的直线度误差为0.0162857138mm（k=0.000023)。


参考文献：
[1]    温秀兰 进化计算应用于计量测试技术的理论研究 东南大学博士论文 2004.1.2
[2]    廖平 基于遗传算法的形状误差计算研究 中南大学博士论文 2002.11.1
        [3]  陈国强，赵俊伟  基于LINGO的直线度误差精确评定  计算机应用技术 2005年第5期总第32卷
[4] 蔺小军 直线度误差最小区域计算方法一有序判别法  计量与测试技术 2002№ 6
[5] 韩祖行  形状误差的优化算法  计量学报 1992年l0月第13卷第4期






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空间直线度误差算例及结果分析
---------------林翔

引用文献(1)中给出的算例，它给出了12个点:

x[1]=66.1;y[1]=172.595; z[1]=562.834;
x[2]=132.2;y[2]=203.973; z[2]=526.790;
x[3]=198.3;y[3]=234.613; z[3]=489.648;
x[4]=264.4;y[4]=265.19; z[4]=453.520;
x[5]=330.0;y[5]=295.962; z[5]=417.192;
x[6]=396.6;y[6]=324.378; z[6]=383.661;
x[7]=462.7;y[7]=351.642; z[7]=351.457;
x[8]=528.8;y[8]=386.757; z[8]=309.969;
x[9]=594.9;y[9]=409.565; z[9]=283.08;
x[10]=661.0;y[10]=440.815; z[10]=246.174;
x[11]=724.1;y[11]=478.072; z[11]=202.18;
x[12]=793.2;y[12]=511.338; z[12]=162.949;

该文计算得到的空间直线度误差值为14.785μm。用本算法求得的空间直线度误差为12.012653μm（a=463.200043，b=215.272156，c=-254.330841，x0=796.707275, y0=508.137115, z0=166.627213）。

引用参考文献(2) 给出的算例，有21个样本点: Z坐标=@5;

x[1]=2.998;y[1]=4.0;
x[2]=8.012;y[2]=13.986;
x[3]=13.013;y[3]=23.995;
x[4]=17.986;y[4]=34.011;
x[5]=22.987;y[5]=44.013;
x[6]=28.024;y[6]=53.979;
x[7]=32.986;y[7]=63.992;
x[8]=38.013;y[8]=74.008;
x[9]=42.985;y[9]=83.994;
x[10]=47.979;y[10]=94.013;
x[11]=53.012;y[11]=104.013;
x[12]=57.989;y[12]=114.010;
x[13]=63.009;y[13]=124.008;
x[14]=68.007;y[14]=133.979;
x[15]=73.009;y[15]=144.011;
x[16]=78.014;y[16]=153.997;
x[17]=83.013;y[17]=164.007;
x[18]=87.989;y[18]=174.008;
x[19]=93.009;y[19]=183.998;
x[20]=97.996;y[20]=194.010;
x[21]=103.00;y[21]=204.00;

该文给出的其空间直线度误差为0.060mm；用本算法进行计算，空间直线度误差为0.050916mm（a=-19.999802，b=-40.010109，c=-20.002991，x0=28.001875, y0=53.991333, z0=25.997542）。

引用参考文献(3) 给出的算例，该例有8个样本点: Z坐标=@100000;

x[1]=0.0;y[1]=0.0;
x[2]=1.0;y[2]=1.0;
x[3]=2.0;y[3]=4.0;
x[4]=0.0;y[4]=0.0;
x[5]=3.0;y[5]=4.0;
x[6]=-0.20;y[6]=-0.5;
x[7]=-1.5;y[7]=-1.0;
x[8]=3.0;y[8]=-1.0;

以该文的方法计算出的直线度误差为7.026μm；用本算法进行计算，直线度误差为6.334943μm（b=-0.074067，c=-0.746406，a =-200000，y0=1.477402, z0=2.801814, x0=0.0）。

引用参考文献(4) 给出的算例(表2)，该例有22个样本点:z[1]=1;z[2]=5;其后z坐标=@5;

x[1]=3.998;y[1]=6.0;
x[2]=8.012;y[2]=13.986;
x[3]=13.013;y[3]=23.995;
x[4]=17.986;y[4]=34.011;
x[5]=22.987;y[5]=44.013;
x[6]=28.024;y[6]=53.979;
x[7]=32.986;y[7]=63.992;
x[8]=38.013;y[8]=74.008;
x[9]=42.985;y[9]=83.994;
x[10]=47.979;y[10]=94.013;
x[11]=53.012;y[11]=104.013;
x[12]=57.989;y[12]=114.010;
x[13]=63.009;y[13]=124.008;
x[14]=68.007;y[14]=133.979;
x[15]=73.009;y[15]=144.011;
x[16]=78.014;y[16]=153.997;
x[17]=83.013;y[17]=164.007;
x[18]=87.989;y[18]=174.008;
x[19]=93.009;y[19]=183.988;
x[20]=97.996;y[20]=194.010;
x[21]=103.000;y[21]=204.000;
x[22]=108.0009;y[22]=214.000;

以该文的POWELL算法计算出的直线度误差为52.799μm；用本算法进行计算，直线度误差为50.938μm（a=19.999773，b=40.010029，c =20.003191，x0=48.001652, y0=94.001373, z0=45.000618）。

引用参考文献(5) 给出的算例，该例有12个样本点:

x[1]=172.595;y[1]=562.834; z[1]=66.162
x[2]=203.973;y[2]=525.790; z[2]=66.127
x[3]=234.613;y[3]=489.648; z[3]=66.126
x[4]=265.190;y[4]=453.520; z[4]=66.155
x[5]=295.962;y[5]=417.192; z[5]=66.130
x[6]=324.378;y[6]=383.661; z[6]=66.128
x[7]=351.642;y[7]=351.457; z[7]=66.135
x[8]=386.767;y[8]=309.969; z[8]=66.117
x[9]=409.565;y[9]=283.080; z[9]=66.130
x[10]=440.815;y[10]=246.174; z[10]=66.153
x[11]=478.072;y[11]=202.180; z[11]=66.123
x[12]=511.338;y[12]=162.949; z[12]=66.124

以该文的算法计算出的直线度误差为0.0455mm；用本算法进行计算，直线度误差为0.044469mm（a=214.178619，b=-252.859375，c =-0.007286，x0=386778442, y0=309.978699, z0=66.131400）。

参考文献：
（1）          空间直线度误差的快速评定 岳武陵，杨杰，朱志松（南通工学院机械系）计量技术2001.3
（2）          空间直线度坐标测量的不确定度计算 王金星,蒋向前,徐振高,李柱（华中科技大学机械科学与工程学院）华中科技大学学报（自然科学版）2005年12月第33卷第12期
（3）          基于坐标变换原理的最小区域法评定空间直线度误差 李淑娟,刘云霞 计测技术2006年第26卷第1期
（4）形状误差的优化算法    彭祖行  计量学报  1992.10
    （5）空间直线度的评定    侯宇  计量技术  1994.03


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圆柱度误差算例及结果分析
-------------林翔
参考文献(1) 给出的算例，被测工件均分为4个断面、每断面周边上6个测量点，计24个样本点:

x[1]=11094.3;y[1]=452.2; z[1]=65232.8
x[2]=5094.0;y[2]=10845.0; z[2]=65076.5
x[3]=-6906.3;y[3]=10843.9; z[3]=65008.9
x[4]=-12906.5;y[4]=449.8; z[4]=65089.7
x[5]=-6906.3;y[5]=-9942.9; z[5]=65054.0
x[6]=5094.0;y[6]=-9941.8; z[6]=65221.6
x[7]=10954.6;y[7]=522.0; z[7]=75231.6
x[8]=4954.4;y[8]=10914.8; z[8]=75075.2
x[9]=-7045.9;y[9]=10913.7; z[9]=75077.0
x[10]=-13046.1;y[10]=519.6; z[10]=74896.4
x[11]=-7045.9;y[11]=-9873.1; z[11]=75052.8
x[12]=4954.47;y[12]=-9872.0; z[12]=75220.4
x[13]=10815.0;y[13]=591.8; z[13]=85230.7
x[14]=4814.8;y[14]=10984.6; z[14]=85074.0
x[15]=-7185.5;y[15]=10983.5; z[15]=85064.1
x[16]=-13185.8;y[16]=589.4; z[16]=84895.2
x[17]=-7185.5;y[17]=-9803.3; z[17]=85051.6
x[18]=4814.9;y[18]=-9802.2; z[18]=85217.1
x[19]=10675.4;y[19]=661.6; z[19]=95229.1
x[20]=4675.2;y[20]=11054.4; z[20]=95072.8
x[21]=-7325.3;y[21]=11053.3; z[21]=94907.7
x[22]=-13325.4;y[22]=659.2; z[22]=95094.0
x[23]=-7325.2;y[23]=-9733.5; z[23]=95050.4
x[24]=4675.2;y[24]=-9732.3; z[24]=95217.9

以该文的方法计算出的圆柱度误差为0.002788mm；用本算法进行计算，圆柱度误差为0.002788mm（圆柱轴心基准直线方程的各参数:a=0.142388，b= -0.071148，c= -10.198753，x0= -1.184961, y0=0.590827, z0=85.062744）,圆柱的外径r外=12.002007。二者结果是一样的。

引用参考文献(2) 给出的算例，一个半径40mm、长度500mm被测工件，均分为6个断面、每断面周边上12个测量点，计72个样本点:z坐标=6*12@100000，pai=3.1415926;
x[1]=40005.73;y[1]=0.0;
x[2]=40006.32*cos(30.0/180.0*pai);y[2]=40006.32*sin(30.0/180.0*pai);
x[3]=40010.3*cos(60.0/180.0*pai);y[3]=40010.3*sin(60.0/180.0*pai);
x[4]=40005.9*cos(90.0/180.0*pai);y[4]=40005.9*sin(90.0/180.0*pai);
x[5]=40006.44*cos(120.0/180.0*pai);y[5]=40006.44*sin(120.0/180.0*pai);
x[6]=40003.14*cos(150.0/180.0*pai);y[6]=40003.14*sin(150.0/180.0*pai);
x[7]=40002.17*cos(180.0/180.0*pai);y[7]=40002.17*sin(180.0/180.0*pai);
x[8]=40005.74*cos(210.0/180.0*pai);y[8]=40005.74*sin(210.0/180.0*pai);
x[9]=40007.25*cos(240.0/180.0*pai);y[9]=40007.25*sin(240.0/180.0*pai);
x[10]=40003.64*cos(270.0/180.0*pai);y[10]=40003.64*sin(270.0/180.0*pai);
x[11]=40008.22*cos(300.0/180.0*pai);y[11]=40008.22*sin(300.0/180.0*pai);
x[12]=40002.79*cos(330.0/180.0*pai);y[12]=40002.79*sin(330.0/180.0*pai);
x[13]=40007.82;y[13]=0.0;
x[14]=40004.81*cos(30.0/180.0*pai);y[14]=40004.81*sin(30.0/180.0*pai);
x[15]=40005.65*cos(60.0/180.0*pai);y[15]=40005.65*sin(60.0/180.0*pai);
x[16]=40002.75*cos(90.0/180.0*pai);y[16]=40002.75*sin(90.0/180.0*pai);
x[17]=40007.82*cos(120.0/180.0*pai);y[17]=40007.82*sin(120.0/180.0*pai);
x[18]=40002.4*cos(150.0/180.0*pai);y[18]=40002.4*sin(150.0/180.0*pai);
x[19]=40005.00*cos(180.0/180.0*pai);y[19]=40005.00*sin(180.0/180.0*pai);
x[20]=40007.83*cos(210.0/180.0*pai);y[20]=40007.83*sin(210.0/180.0*pai);
x[21]=40004.32*cos(240.0/180.0*pai);y[21]=40004.32*sin(240.0/180.0*pai);
x[22]=40009.21*cos(270.0/180.0*pai);y[22]=40009.21*sin(270.0/180.0*pai);
x[23]=40006.0*cos(300.0/180.0*pai);y[23]=40006.0*sin(300.0/180.0*pai);
x[24]=40004.29*cos(330.0/180.0*pai);y[24]=40004.29*sin(330.0/180.0*pai);
x[25]=40012.7;y[25]=0.0;
x[26]=40003.33*cos(30.0/180.0*pai);y[26]=40003.33*sin(30.0/180.0*pai);
x[27]=40004.31*cos(60.0/180.0*pai);y[27]=40004.31*sin(60.0/180.0*pai);
x[28]=40001.28*cos(90.0/180.0*pai);y[28]=40001.28*sin(90.0/180.0*pai);
x[29]=40010.11*cos(120.0/180.0*pai);y[29]=40010.11*sin(120.0/180.0*pai);
x[30]=40004.86*cos(150.0/180.0*pai);y[30]=40004.86*sin(150.0/180.0*pai);
x[31]=40008.12*cos(180.0/180.0*pai);y[31]=40008.12*sin(180.0/180.0*pai);
x[32]=40011.03*cos(210.0/180.0*pai);y[32]=40011.03*sin(210.0/180.0*pai);
x[33]=40003.29*cos(240.0/180.0*pai);y[33]=40003.29*sin(240.0/180.0*pai);
x[34]=40008.41*cos(270.0/180.0*pai);y[34]=40008.41*sin(270.0/180.0*pai);
x[35]=40003.24*cos(300.0/180.0*pai);y[35]=40003.24*sin(300.0/180.0*pai);
x[36]=40009.46*cos(330.0/180.0*pai);y[36]=40009.46*sin(330.0/180.0*pai);
x[37]=40008.34;y[37]=0.0;
x[38]=40002.0*cos(30.0/180.0*pai);y[38]=40002.0*sin(30.0/180.0*pai);
x[39]=40005.88*cos(60.0/180.0*pai);y[39]=40005.88*sin(60.0/180.0*pai);
x[40]=40005.29*cos(90.0/180.0*pai);y[40]=40005.29*sin(90.0/180.0*pai);
x[41]=40006.17*cos(120.0/180.0*pai);y[41]=40006.17*sin(120.0/180.0*pai);
x[42]=40005.68*cos(150.0/180.0*pai);y[42]=40005.68*sin(150.0/180.0*pai);
x[43]=40004.78*cos(180.0/180.0*pai);y[43]=40004.78*sin(180.0/180.0*pai);
x[44]=40003.74*cos(210.0/180.0*pai);y[44]=40003.74*sin(210.0/180.0*pai);
x[45]=40007.68*cos(240.0/180.0*pai);y[45]=40007.68*sin(240.0/180.0*pai);
x[46]=40006.64*cos(270.0/180.0*pai);y[46]=40006.64*sin(270.0/180.0*pai);
x[47]=40007.36*cos(300.0/180.0*pai);y[47]=40007.36*sin(300.0/180.0*pai);
x[48]=40006.13*cos(330.0/180.0*pai);y[48]=40006.13*sin(330.0/180.0*pai);
x[49]=40006.15;y[49]=0.0;
x[50]=40008.82*cos(30.0/180.0*pai);y[50]=40008.82*sin(30.0/180.0*pai);
x[51]=40007.1*cos(60.0/180.0*pai);y[51]=40007.1*sin(60.0/180.0*pai);
x[52]=40003.32*cos(90.0/180.0*pai);y[52]=40003.32*sin(90.0/180.0*pai);
x[53]=40004.73*cos(120.0/180.0*pai);y[53]=40004.73*sin(120.0/180.0*pai);
x[54]=40003.32*cos(150.0/180.0*pai);y[54]=40003.32*sin(150.0/180.0*pai);
x[55]=40003.94*cos(180.0/180.0*pai);y[55]=40003.94*sin(180.0/180.0*pai);
x[56]=40005.8*cos(210.0/180.0*pai);y[56]=40005.8*sin(210.0/180.0*pai);
x[57]=40005.64*cos(240.0/180.0*pai);y[57]=40005.64*sin(240.0/180.0*pai);
x[58]=40004.17*cos(270.0/180.0*pai);y[58]=40004.17*sin(270.0/180.0*pai);
x[59]=40004.91*cos(300.0/180.0*pai);y[59]=40004.91*sin(300.0/180.0*pai);
x[60]=40005.63*cos(330.0/180.0*pai);y[60]=40005.63*sin(330.0/180.0*pai);
x[61]=40002.23;y[61]=0.0;
x[62]=40009.47*cos(30.0/180.0*pai);y[62]=40009.47*sin(30.0/180.0*pai);
x[63]=40004.98*cos(60.0/180.0*pai);y[63]=40004.98*sin(60.0/180.0*pai);
x[64]=40002.37*cos(90.0/180.0*pai);y[64]=40002.37*sin(90.0/180.0*pai);
x[65]=40005.69*cos(120.0/180.0*pai);y[65]=40005.69*sin(120.0/180.0*pai);
x[66]=40002.45*cos(150.0/180.0*pai);y[66]=40002.45*sin(150.0/180.0*pai);
x[67]=40005.92*cos(180.0/180.0*pai);y[67]=40005.92*sin(180.0/180.0*pai);
x[68]=40008.51*cos(210.0/180.0*pai);y[68]=40008.51*sin(210.0/180.0*pai);
x[69]=40002.63*cos(240.0/180.0*pai);y[69]=40002.63*sin(240.0/180.0*pai);
x[70]=40009.22*cos(270.0/180.0*pai);y[70]=40009.22*sin(270.0/180.0*pai);
x[71]=40004.28*cos(300.0/180.0*pai);y[71]=40004.28*sin(300.0/180.0*pai);
x[72]=40003.64*cos(330.0/180.0*pai);y[72]=40003.64*sin(330.0/180.0*pai);
使用该文介绍的计算方法，计算出的圆柱度误差最佳值为10.435μm；用本算法进行计算，得出的空间直线度误差为10.167969μm（a= -0.200086，b= -0.424666，c = -199999.95313，x0=1.089424, y0= -0.877194, z0=299999.96875），r外=40.011609375mm。

引用文献(3)中给出的（表一）算例，共有10个点：

x[1]=5.08;y[1]=4.42; z[1]=-8.5
x[2]=0.05;y[2]=2.46; z[2]=-9.91
x[3]=-8.61;y[3]=2.08; z[3]=-4.91
x[4]=-4.91;y[4]=3.99; z[4]=8.82
x[5]=-8.54;y[5]=6.28; z[5]=-4.76
x[6]=5.12;y[6]=6.52; z[6]=-8.43
x[7]=0.08;y[7]=4.55; z[7]=-9.84
x[8]=-8.61;y[8]=2.08; z[8]=-4.91
x[9]=-4.87;y[9]=6.09; z[9]=8.89
x[10]=0.12;y[10]=6.65; z[10]=-9.76

以该文计算得到的基准中心线方程验算，其圆柱度误差值为36.250μm。以原文给出的中心线，作为本文算法的初始基准中心线，求得的圆柱度误差为8.998μm（a=-0.037323，b= -2.100352，c= -0.071011，x0=0.090576，y0=4.211837，z0=0.158283）。

引用参考文献(4) 给出的算例，被测工件均分为3个断面、每断面圆周上6个测量点，计18个样本点:

x[1]=466.513;y[1]=536.636; z[1]=56.827
x[2]=439.804;y[2]=551.639; z[2]=56.826
x[3]=421.886;y[3]=539.596; z[3]=56.826
x[4]=421.317;y[4]=515.106; z[4]=56.827
x[5]=452.036;y[5]=503.281; z[5]=56.827
x[6]=455.413;y[6]=504.807; z[6]=56.827
x[7]=468.359;y[7]=529.453; z[7]=203.934
x[8]=451.962;y[8]=555.725; z[8]=203.935
x[9]=422.390;y[9]=545.727; z[9]=203.935
x[10]=425.544;y[10]=514.615; z[10]=203.935
x[11]=445.271;y[11]=507.158; z[11]=203.935
x[12]=463.333;y[12]=516.908; z[12]=203.934
x[13]=466.046;y[13]=549.214; z[13]=376.561
x[14]=451.692;y[14]=562.061; z[14]=376.562
x[15]=418.625;y[15]=541.691; z[15]=376.562
x[16]=419.927;y[16]=529.780; z[16]=376.560
x[17]=456.142;y[17]=516.780; z[17]=376.562
x[18]=467.259;y[18]=530.590; z[18]=376.561

以该文的方法计算得出的中心基线方程为准，将数据回代，得到的圆柱度误差为0.011774mm；用本算法进行计算，圆柱度误差为0.011606mm（a= -0.001526，b= -6.276672，c= -173.650116，x0=443.450806， y0=532.130310，z0=203.301727）。

参考文献：
（1）          温秀兰, 宋爱国 基于改进遗传算法评定圆柱度误差 计量学报 2004年4月第25卷 第2期
（2）          郑鹏，雷文平，侯伯杰  基于修正单纯形法的圆柱度误差优化评定  郑州大学学报工学版 2004年6月第25卷第2期
（3）          吕广明，陆念力，薛渊，唐余勇 最小外包容平行六面体和最小外包容圆柱 机械设计 2004年11月第21卷第11期
（4）          侯 宇，张竞，张尚书，李 刚，崔晨阳 圆柱度误差评定的最小面积准则及其应用  实用测试技术1996年9月第5期

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球度误差算例及结果分析
-------林翔
参考文献(1)中给出的第一个算例，球面上共有50个点:

x[1]=0.81814;y[1]=-0.43615; z[1]=-0.38525
x[2]=-0.80885;y[2]=-0.53045; z[2]=0.27905
x[3]=0.03749;y[3]=0.90643; z[3]=-0.42737
x[4]=0.86935;y[4]=-0.27403; z[4]=-0.42518
x[5]=-0.50786;y[5]=-0.07441; z[5]=0.86060
x[6]=0.75348;y[6]=-0.67012; z[6]=-0.00610
x[7]=0.05867;y[7]=-1.00773; z[7]=-0.00198
x[8]=-0.17486;y[8]=0.60442; z[8]=0.78297
x[9]=0.71121;y[9]=-0.50123; z[9]=-0.50042
x[10]=-0.47493;y[10]=-0.51466; z[10]=0.71992
x[11]=0.06016;y[11]=-0.74129; z[11]=-0.67432
x[12]=0.05337;y[12]=0.02006; z[12]=1.00515
x[13]=0.29869;y[13]=0.87920; z[13]=0.38988
x[14]=-0.15488;y[14]=-0.86697; z[14]=0.48585
x[15]=0.38994;y[15]=-0.0006; z[15]=-0.92592
x[16]=0.00776;y[16]=0.73922; z[16]=0.68741
x[17]=0.62090;y[17]=0.52006; z[17]=-0.59341
x[18]=0.00952;y[18]=-0.03493; z[18]=-1.00376
x[19]=-0.44592;y[19]=0.76584; z[19]=-0.47847
x[20]=0.01069;y[20]=0.99511; z[20]=0.11265
x[21]=-0.93371;y[21]=-0.17351; z[21]=-0.33160
x[22]=-0.48121;y[22]=-0.69836; z[22]=0.53717
x[23]=0.50394;y[23]=0.86933; z[23]=0.03322
x[24]=0.80924;y[24]=0.07332; z[24]=-0.59398
x[25]=0.84569;y[25]=0.06876; z[25]=-0.53570
x[26]=0.36179;y[26]=-0.07902; z[26]=0.93410
x[27]=-0.78624;y[27]=0.20326; z[27]=-0.59063
x[28]=-0.46529;y[28]=0.69616; z[28]=-0.55167
x[29]=-0.93402;y[29]=-0.02267; z[29]=-0.35813
x[30]=0.43016;y[30]=0.49319; z[30]=-0.76122
x[31]=-0.46929;y[31]=0.11501; z[31]=0.88119
x[32]=0.60788;y[32]=-0.41130; z[32]=0.68580
x[33]=0.70712;y[33]=0.46598; z[33]=0.53998
x[34]=0.67398;y[34]=-0.38068; z[34]=-0.63956
x[35]=-0.06245;y[35]=-0.50544; z[35]=0.86696
x[36]=-0.09577;y[36]=0.96216; z[36]=0.26433
x[37]=0.29318;y[37]=0.79379; z[37]=0.54237
x[38]=-0.39873;y[38]=-0.68009; z[38]=0.61867
x[39]=-0.30833;y[39]=-0.07805; z[39]=0.94937
x[40]=-0.70424;y[40]=-0.64359; z[40]=0.31476
x[41]=0.67010;y[41]=-0.17187; z[41]=-0.72841
x[42]=-0.12359;y[42]=-0.70688; z[42]=0.70559
x[43]=-0.09694;y[43]=0.64820; z[43]=-0.75729
x[44]=-0.13014;y[44]=0.04876; z[44]=0.99815
x[45]=-0.28485;y[45]=0.86262; z[45]=-0.43728
x[46]=0.16745;y[46]=-0.11142; z[46]=-0.98603
x[47]=0.00946;y[47]=-0.00746; z[47]=1.00873
x[48]=0.15374;y[48]=-0.33634; z[48]=-0.93141
x[49]=-0.44828;y[49]=0.85926; z[49]=-0.25853
x[50]=-0.61673;y[50]=-0.28843; z[50]=0.73859

文献(1)给出的诸多算法中，最精确的计算结果为0.007660mm。用本方法对该算例进行计算，结果为0.007660mm（球心坐标为0.002504，-0.000096，0.000482）。

引用参考文献(2)中给出了的算例，球面上共有25个点:

x[1]=6.594;y[1]=0; z[1]=11.421143
x[2]=12.740966;y[2]=0; z[2]=7.356
x[3]=15.196;y[3]=0; z[3]=0
x[4]=14.535370;y[4]=0; z[4]=-8.392
x[5]=7.258;y[5]=0; z[5]=-12.571224
x[6]=2.374487;y[6]=7.307918;z[6]=13.309078
x[7]=4.096674;y[7]=12.608267;z[7]=7.654
x[8]=4.074080;y[8]=12.538729;z[8]=0
x[9]=3.751984;y[9]=11.547420;z[9]=7.01
x[10]=2.411569;y[10]=7.422045;z[10]=-13.516924
x[11]=-6.781180;y[11]=4.926816;z[11]=14.518049
x[12]=-10.122691;y[12]=7.354566;z[12]=7.224
x[13]=-12.442681;y[13]=9.040137;z[13]=0
x[14]=-11.058732;y[14]=8.34639;z[14]=-7.892
x[15]=-6.243993;y[15]=4.536527;z[15]=-13.367968
x[16]=-6.627467;y[16]=-4.815137;z[16]=14.18896
x[17]=-11.571592;y[17]=-8.407254;z[17]=8.258
x[18]=-11.462152;y[18]=-8.327742; z[18]=0
x[19]=-10.758862;y[19]=-7.816772; z[19]=7.678
x[20]=-6.400942;y[20]=-4.650557; z[20]=-13.703986
x[21]=2.539502;y[21]=-7.815783; z[21]=14.233994
x[22]=4.275442;y[22]=-13.158458; z[22]=7.988
x[23]=4.552438;y[23]=-14.010924; z[23]=0
x[24]=4.478831;y[24]=-13.784424; z[24]=-8.368
x[25]=2.443088;y[25]=-7.519053; z[25]=-13.693593

文献(2)给出了结果为3.351375。用本文算法，结果为3.332523（球心坐标：-0.388737，-0.355482,-0.299896）。


参考文献：
[1]温秀兰　进化计算应用计量测试技术的理论研究  东南大学博士学位论文集20040102
[2]崔长彩  东仁生 吓东 黄庆成 基于遗传算法的球度误差评定  光学、精密工程2002年8月第四期第10卷


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平行度误差算例及结果分析

引用参考文献(1)中给出的第一个算例，共有空间上8个点:
X      y        z
459.6206,379.4207,54.0560
521.4322,415.0946,54.0276
579.8175,448.8244,54.0318
646.7175,487.4427,54.0424
702.4442,519.5981,54.0274
758.2983,551.8805,54.0263
818.3868,586.5541,54.0514
881.3558,622.8936,54.0261
基准向量：
0.866025403784438,0.5,0
文献(1)给出的平行度误差计算结果为0.0372mm（经回代验算，为0.037241mm）。用本文的方法对该算例进行计算，结果为0.037169mm（xq=-49.389236，yq=85.544655，zq=54.037426）。

[1]侯宇　三坐标测量机上平行度和垂直度的精确评定  计量学报 1994.7



垂直度误差算例及结果分析

引用参考文献(1)中给出的第二个例子，算例给予出了8个三维空间的点：
X      y        z
730.4611,535.0238,69.7093
730.4545,535.0289,141.3579
730.4519,535.0112,209.5670
730.4601,535.0234,264.4847
730.4529,535.0329,345.7213
730.4543,535.0155,426.1628
730.4648,535.0235,491.7361
730.4539,535.0311,556.8645
基准向量：
0，0，1
原文计算得出的垂直度误差结果为0.0220mm(经回代验算，为0.021961mm）。用本文算法，结果为0.021949mm（xq=730.453918，yq=535.021973，zq=0.0）。


[1]侯宇　三坐标测量机上平行度和垂直度的精确评定  计量学报 1994.7